存在与恒成立(含答案)

存在与恒成立1.恒成立问题：（1）;)(fD,)(f,xminAxAxD上则在区间恒成立均有（2）;)(fD,)(f,xmaxBxBxD上则在区间恒成立均有（3）;0)(f),()()(,)(g)(f,xminxxgxfxFxxD则恒成立均有（4）;0)(f),()()(,)(g)(f,xmaxxxgxfxFxxD则恒成立均有（5）;)()(f,)(g)(f,Ex,xmaxmin2121xgxxxD则恒成立均有（6）;)()(f,)(g)(f,Ex,xminmax2121xgxxxD则恒成立均有（7）;)()(g,()()(,xxminmax2121CxgxCxgxgD则常数）恒成立均有，2.存在问题：（1）;)(f,)(f,xax00AxAxDm则成立使不等式（2）;)(f,)(f,xin00BxBxDm则成立使不等式（3）;0)(F),()()(,)(g)(f,xax000mxxgxfxFxxD则成立使不等式（4）;0)(F),()()(,)(g)(f,xin000mxxgxfxFxxD则成立使不等式（5）;)()(f,)(g)(f,Ex,xminmax2121xgxxxD则恒成立均有（6）;)()(f,)(g)(f,Ex,xmaxmin2121xgxxxD则恒成立均有3.恰成立问题：（1）；的解集为上恰成立，在区间不等式D)(fD)(fAxAx（2）；的解集为上恰成立，在区间不等式D)(fD)(fBxBx4.相等问题：（1）;)()(f,)(g)(f,Ex,x2121xgxxxD则成立使得总若（2）;)()(f,)(g)(f,Ex,x2121xgxxxD则成立使得若5.综合问题：（1）;)(g)(f,)(g)(f,Ex,xminmin2121xxxxD则成立使得总若（2）;)(g)(f,)(g)(f,Ex,xmaxmax2121xxxxD则成立使得总若（3）;)()()()(,()()(,x,xminmaxminmax2121CxgxfCxfxgCxgxfED则常数）恒成立均有（4）;)()()()(,()()(,x,xmaxminmaxin2121CxgxfCxfxgCxgxfEDm则常数）成立使得（5）;)()(,()()(,xxminmax2121CxgxgCxgxgD则常数）恒成立均有，（6）;)()(f)()(,()()(fEx,xminmaxminmax2121CxgxCxfxgCxgxD或则常数）成立，使得（7）;)(g)(,()()(fDxxminmax2121CxxgCxgx则常数）恒成立，都有，（8）;)()()()(,()()(,x,xmaxmaxmini2121CxgxfCxfxgCxgxfEDnm则常数）成立使得总（9）;)()(g)()(f,()()(fEx,xmaxminmaxmin2121CxfxCxgxCxgxD或则常数）恒成立，都有（10）;)(f)(,()(f)(fExDxminmax2121CxxfCxx则常数）成立，使得，总考点一.恒成立问题命题点1.参变分离：简单最值（1）设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sinθ)m对任意θ恒成立，求实数m的取值范围．解：令x=3＋2sinθ∈[1,5]，从而只需mf(x)max，x∈[1,5]，f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，x＝±1，当x∈[1,5]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1,5]上为减函数，f(x)max＝f(1)＝4，则m4．（2）设函数cxbxf(x)2，若对任意11-,21，xx，有4)()(f21xfx，求b的取值范围。解：由题：f(x)max-f(x)min《4，f(x)开口向上，对称轴为2xb,最大值必为f(-1)=1-b+c或f(1)=1+b+c，（1）若12b-1-,即-2b2,则最小值为，即012-b4-,441,4)2(f222bbccbbcb,则-2b6。（2）若1-2-12-bb或,即b2或b-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|4,得|b|2,矛盾（舍）。综合得b：[-2,2]。命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则秒杀：洛必达法则操作步骤（分离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论）第一步：分离参数，得到）（xxra)(；第二步：构造函数）（xxrxg)()(；第三步：证明)(xg单调性；（求)(xg，可能需要二次求导)(xg，直到可以判断导数正负终止，写出)(xg单调区间，确定极值点0xx）第四步：判断当0xx时，）（xxrxg)()(是否为00或型）第五步：运用洛必达法则求)(xg在0xx处极限；（）（xxrxx)(lim0=）（xxrxx)(lim0=）（xxrxx)(lim0……A，直到代入x=a有意义可求出极限为止。）第六步：求出参数范围Aa（1）已知的取值范围。）恒成立，求，在（axxxx1aln)(f2解：22ln)(g,lnaxxxxxxx令，231ln)(gxxx（单调性不确定则二阶求导），61x061)(g，则xxx（单减），）单减，在（故1)(,05)1()(gxggx，1)1()(g1)(,02)1()(ggxxggx）单减，，在（故，则a-1.(2)已知的取值范围。恒成立，求时，当a0)(f0x,)1()(f2xaxexxx解：xxxxx1e)(g,1ea令，1)1()(h,1)1()(g2xexxxexxx令（单调性不确定则二阶求导），0)(g,0)0(h)()(h0x0)(hxxhxxexx即单增，则时），（在，故g(x)单调递增，g(x)》g(0)=100(由洛必达法则），则a《1.（3）已知函数()fx=ex(ex﹣a)﹣a2x，若当x》0时()0fx成立，求a的取值范围．解：由题意得当0x时，Ra,当0＞x时，max2}1)1({xexax，令xexxgx1)1()(2，2231)1-()(xexxxxgx，令11)(23xexxxx）（，则xexxxx)4-)(23（0＜，则)(x在）（,0上递减，故00)(）（＜x，故0)(＜xg，故)0()(maxgxg＜，又11)12(-lim1)1(lim2020xxexexxxxx，故1a。（4）设函数()ln(1),()'(),0fxxgxxfxx，其中'()fx是()fx的导函数，若()()fxagx恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意得当0x时，Ra,当0＞x时，min})1ln()1({xxxa，令xxxxg)1ln()1()(，2)1ln()(xxxxg，令)1ln()(xxx，则011-1)(＞xx，则)(x在）（,0上递增，故00)(）（＞x，故0)(＞xg，故)0()(mingxg＞，又111)1ln(lim)1ln()1(lim00xxxxxx，故1a。命题点3.斜率型求参数（1）设函数f()=lnxmxx，若对任意ba0，f()()1bfaba恒成立，求实数m的取值范围．解：22f()()11=k=14bfammxxbaxx。（2）设函数21f()=x2lnx(2)2xmmx，若对任意ba0，f()()bfamba恒成立，求实数m的取值范围．解：2f()()21=k=x-222bfammmmxxbax。命题点4.直接法求参数（1）已知函数1f()xxeax，若x1,,()ln1fxxa恒成立，求a的取值范围。解：2111122111g()ln1(1)(),()0xxxxxexeaxxaxgxeagxexxxg(x)1+g(x)g(1)=a+2在，单增，，当a-2,g(x)0,g(x)g(1)=0单增，原式成立；当000000a-2,x,g(x)=0,1,xg(x)0,(x,)g(x)0,g(x)min=g(x)(1)0g时存在使当x,当x,，不符合题意，则a》-2.（2）设函数ln1f()1xxxx，如果当x0时且x1时，lnkf()-1xxxx恒成立，求实数k的取值范围．解：设222ln1(1)(1)(1)(1)g()()()(2ln),h()2ln11xkkxkxxfxxxxxxxxx令，22(1)+1+2xh()k0h()0,(0,1),()0,(1,),()0,(1)0()0kxxxxhxxhxhgxx（），当时，，k1h()0,(1,),()0,(1)0()0xxhxhgx当时，；10k1(1,),h()0,()0,(1)0()01xxhxhgxk当时，；综上k《0。命题点5.两函数法（1）已知函数1f()xxeax，若x1,,()ln1fxxa恒成立，求a的取值范围。解：11f()+lnx1ln(1)1,g()ln1+xxxaexaxxex令在，单增，h(1)11,1)kaxa(x)=恒过（，，-a22a，则。考点二。存在性问题（1）设f(x)＝ax＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对任意的s，t∈12，2都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．解：(1)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于：[g(x1)－g(x2)]max≥M，g(x)＝x3－x2－3，g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23，x00，232323，22g′(x)－0＋g(x)－3递减极(最)小值－8527递增1由上表可知：g(x)min＝g23＝－8527，g(x)max＝g(2)＝1，[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝11227，最大整数M＝4.(2)由题：在区间12，2上，函数f(x)》g(x)max恒成立，由(1)知，在区间12，2上，g(x)的最大值为g(2)＝1.∴f(x)≥1恒成立，即ax＋xlnx》1恒成立，则2alnxxx，令h(x)=2lnxxx,xxxxln21)(h=0，03ln21)1(ln2)(h2,21xxx上，恒有在,则,1x0)(h)(h，则单调递减，令xxh(x)在1,21单调递增，在（1,2)单调递减，故h(x)max=h(1)=1，则a》1.（2）函数xxaaxxln2)12(21)(f2,2()2gxxx,若对任意10,2x，均存在20,2x，使得12()()fxgx,求a的取值范围。解：由题：min)()(f21xgx，1)1(min)(g2gx，f(x)在x∈(0,2]恒