幂法是求方阵最大特征值及对应特征向量

幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量幂法设An有n个线性相关的特征向量v1，v2，…，vn，对应的特征值1，2，…，n，满足|1||2|…|n|(3.2.1)1.基本思想因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，所以任给x(0)0，niiivax1)0(——线性表示所以有])([)(21111111)0(niiikiknikkiiniikiniiikkvavavavAavaAxA若a10，则因11i知，当k充分大时A(k)x(0)1ka1v1=cv1属1的特征向量另一方面，记max(x)=xi，其中|xi|=||x||，则当k充分大时，111111111111111)0(1)0()max()max()max()max()max()max(vavavavaxAxAkkkkkk若a1=0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下去可求得1及对应特征向量的近似值。2.规范化在实际计算中，若|1|1则|1ka1|，若|1|1则|1ka1|0都将停机。须采用“规范化”的方法)()1()()()()max(kkkkkAyxxxy，k=0，1，2，…定理3.2-1任给初始向量0)0(x有，特征值特征向量1)(11)()max(lim)max(limkkkkxvvy证明：niikiikniikiikkkkkkkkkkkkvavavavaxAxAxxAxxAAyAyxxy2111121111)22.3()0()0()1()1()1()1()1()1()()()(])([max])([)max())max(max()max()max()max()max()max(])([max])([11111121112111vvvavavavavavakniikiiniikii而1111111)1()()max()max()max()max())max(max()max()max(vvvAvvvAAyxkkk注：若A的特征值不满足条件(3.2.1)，幂法收敛性的分析较复杂，但若1=2=…=r且|1||r+1|…|n|则定理结论仍成立。此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于1的不同特征向量。3.算法求maxa(x)的流程，设数组x(n)数向量x的n个分量数组x=[n]k=1for(i=2ton,i++)若|x[i]||x[k]|Tk=imax=x[k]幂法流程：输入数组x0,eps,Ax1=x0y=x1/maxa(x1)x0=Ay|maxa(x1)–maxa(x0)|eps输出y,maxa(x0)例1，用幂法求361641593642A的最大模特征值及对应特征向量见P312functiony=maxa(x)k=1;n=length(x);fori=2:nif(abs(x(i))abs(x(k)),k=i;end;end;y=x(k);A=[2,4,6;3,9,15;4,16,36];x0=[1;1;1];y=x0/maxa(x0)x1=A*ywhile(abs(maxa(x1)-maxa(x0)))0.001x0=x1;y=x0/maxa(x0)x1=A*yend;ymaxa(x1)