习题课-正弦定理和余弦定理

习题课正弦定理和余弦定理第二章解三角形学习目标1.学会利用三角形中的隐含条件.2.学会根据条件特点选择正弦定理、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由A＋B＋C＝180°可得sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝，sinA＋B2＝，cosA＋B2＝.sinC－cosCcosC2－tanCsinC2(2)由三角形的几何性质可得acosC＋ccosA＝，bcosC＋ccosB＝，acosB＋bcosA＝.(3)由大边对大角可得sinA＞sinB⇔AB.(4)由锐角△ABC可得任意两内角之和大于，进而可得sinAcosB.π2b＞ac＞知识点二正弦定理、余弦定理常见形式1.正弦定理的呈现形式(1)asinA＝＝＝2R(其中R是)；(2)a＝bsinAsinB＝csinAsinC＝2RsinA；(3)sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝.△ABC外接圆的半径bsinBb2RcsinCc2R2.余弦定理的呈现形式(1)a2＝，b2＝，c2＝；(2)cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变形解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件，如内角和等.[思考辨析判断正误]1.在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B.()2.在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.()3.在△ABC中，若cosA＝cosB，则A＝B.()√×√题型探究例1在△ABC中，若c·cosB＝b·cosC，cosA＝，求sinB的值.类型一利用正弦、余弦定理转化边角关系解答解由c·cosB＝b·cosC，结合正弦定理，得sinCcosB＝sinBcosC，故sin(B－C)＝0，∵0Bπ，0Cπ，∴－πB－Cπ，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.23∵cosA＝23，∴由余弦定理，得3a2＝2b2，再由余弦定理，得cosB＝66，故sinB＝306.引申探究1.对于本例中的条件，c·cosB＝b·cosC，能否使用余弦定理？解答化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，∴c2＝b2，从而c＝b.解由余弦定理，得c·a2＋c2－b22ac＝b·a2＋b2－c22ab.2.本例中的条件c·cosB＝b·cosC的几何意义是什么？解答解如图，作AD⊥BC，垂足为D.则c·cosB＝BD，b·cosC＝CD.∴ccosB＝bcosC的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等.反思与感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.解答解由题意知，cosA＝b2＋c2－a22bc＝ac＋bc－ac2bc＝12，跟踪训练1在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求A的大小；∵A∈(0，π)，∴A＝π3.解答解由b2＝ac，得bc＝ab，(2)求bsinBc的值.∴bsinBc＝sinB·ab＝sinB·sinAsinB＝sinA＝32.类型二涉及三角形面积的条件转化例2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB＝2sinA，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB＝.14答案解析解析由sinB＝2sinA及正弦定理，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sinB，得12acsinB＝a2sinB，即c＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a24a2＝14.反思与感悟表示三角形面积，即使确定用两边及其夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角.跟踪训练2已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C为A.135°B.45°C.60°D.120°答案解析解析∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12absinC，√∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得sinC＝cosC.又C∈(0°，180°)，∴C＝45°.类型三正弦、余弦定理与三角变形的综合应用例3在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2B＋C2－cos2A＝72.(1)求A的度数；解答解由4sin2B＋C2－cos2A＝72及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝72，4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝12.∵0°A180°，∴A＝60°.(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值.解答解由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc.∵cosA＝12，∴b2＋c2－a22bc＝12，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，将a＝3，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.则由b＋c＝3，bc＝2，解得b＝1，c＝2或b＝2，c＝1.反思与感悟(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用.(3)三角恒等变形公式是否熟练，对顺利化简非常重要.跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2＋c2－b2＝65ac.求2sin2A＋C2＋sin2B的值.解答解由已知得a2＋c2－b22ac＝35，所以cosB＝35，sinB＝1－cos2B＝45，＝1＋cosB＋2sinBcosB所以2sin2A＋C2＋sin2B＝2cos2B2＋sin2B＝1＋35＋2×45×35＝6425.达标检测答案1234解析2sinAsinB＝3sinB，∵B∈0，π2，sinB≠0，1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于A.π12B.π6C.π4D.π3解析在△ABC中，利用正弦定理，得√∴sinA＝32.又∵A为锐角，∴A＝π3.解析∵c＝2acosB，由正弦定理得，2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC是等腰三角形.1234解析答案2.在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形√答案1234解析∵sin2A＝sin2B＋3sinB·sinC＋sin2C，解析设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋3bc，3.在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋3sinB·sinC＋sin2C，则A等于A.30°B.60°C.120°D.150°答案√∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－32，又∵0°A180°，∴A＝150°.12344.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA→·AC→＝.解析解析由余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝9＋4－1012＝14.∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosA＝3×2×14＝32，答案∴BA→·AC→＝－AB→·AC→＝－32.－321.对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况选择恰当的定理或定理的变形来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.规律与方法