第7章 第4节 空间中的平行关系

45教材回顾2考点突破3课堂小结课时规范练目录CONTENTS1考纲解读第七章立体几何第四节空间中的平行关系考纲解读考纲解读1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，判定常见几何体中的平行关系；2.以常见几何体为模型，进行空间平行关系的转化．教材回顾[基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为，所以l∥α此平面内l∥a,a⊂α,l⊄α教材回顾性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为，，所以l∥b交线l∥α，l⊂βα∩β＝b教材回顾2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为，，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面，那么它们的平行因为，，所以a∥b相交直线a∥β，b∥β，a∩b＝Pa⊂α，b⊂α相交交线α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b教材回顾[三基自测]1．(必修2·2.2练习改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD教材回顾2．(必修2·习题2.2B组改编)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④C教材回顾3．(必修2·2.2练习改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．平行教材回顾4．(必修2·2.2例题改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱的中点，则面AMN与面DBEF的关系为________．平行考点突破直线与平面平行的判定与性质(方法突破)【例1】如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.[证明]如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.考点一技法感悟证明直线与平面平行的两种重要方法及关键方法关键利用线面平行的判定定理在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行利用面面平行的性质过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行考点突破跟踪训练(2017·石家庄二中模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°.(1)求证：CE∥平面PAB；(1)证明：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，∴∠FDC＝30°.又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°，∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点．又E为PD的中点，∴EF∥PA，∵AP⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.又∠BAC＝∠ACF＝60°，∴CF∥AB，可得CF∥平面PAB.又EF∩CF＝F，∴平面CEF∥平面PAB，而CE⊂平面CEF，∴CE∥平面PAB.考点一考点突破(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P­ACE的体积．(2)∵EF∥AP，AP⊂平面APC，EF⊄平面APC，∴EF∥平面APC.又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA＝2AB＝2，∴AC＝2AB＝2，CD＝ACtan30°＝23.∴VP－AEC＝VE－PAC＝VF－PAC＝VP－ACF＝13×12×S△ACD·PA＝13×12×12×2×23×2＝233.考点一考点突破【例2】(1)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝a3，过B1、D1、P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.(1)∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ.设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴PQPM＝PDAP＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴PMBD＝APAD＝13，∴PM＝13BD，又BD＝2a，∴PQ＝223a.填223a.考点二面面平行的判定与性质(易错突破)考点突破考点二(2)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．①求证：平面BDGH∥平面AEF；②求多面体ABCDEF的体积．考点突破考点二(2)①证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC与BD的交点为O，连接OH，如图，考点突破考点二在△ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.考点突破考点二②因为AC⊥平面BDEF，又易知AO＝2，S矩形BDEF＝3×22＝62，所以四棱锥A­BDEF的体积V1＝13·AO·S矩形BDEF＝4.同理可得四棱锥C­BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.考点突破易错提醒易错提醒1.利用面面平行的判定定理证明面面平行时，务必强调其中一个平面内的“两条相交”直线平行于另一个平面．2．利用面面平行得线线平行时，是利用两平面的交线，不可随意说两直线平行．考点突破纠错训练(1)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，若Q是CC1的中点．证明：平面D1BQ∥平面PAO.证明：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.考点二考点突破(2)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，连接A1B交AB1于点O，由平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴A1D1D1C1＝A1OOB.又A1D1D1C1＝DCAD，A1OOB＝1，∴DCAD＝1，即ADDC＝1.考点二考点突破线面平行中的探索性问题(思维突破)【例3】在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.考点三考点突破(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．(2)存在一点M∈AB，使DE∥平面A1MC.证明如下：取AB的中点M，AC的中点N，连接EN，DM，MN(图略)．∴DM綊12AC，NE綊12A1C1，∴NE綊DM.∴四边形DENM为平行四边形，∴MN∥DE，又DE⊄平面A1MC，MN⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC.故存在点M为AB的中点，使DE∥平面A1MC.考点三思维升华线面平行的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．考点突破母题变式(1)在本例条件下，在线段AB上找一点Q，使得平面DEQ∥平面A1MC.取BM的中点Q，则DQ∥CM，CM⊂平面A1MC，DQ⊄平面A1MC，∴DQ∥平面A1MC，由于DE∥平面A1MC，DE∩DQ＝D，∴平面DEQ∥平面A1MC.考点三考点突破(2)在本例条件下，在线段A1B1上找一点F，使平面BC1F∥平面A1MC.取A1B1的中点F，∴C1F∥CM，∴C1F∥平面A1MC，又BC1∥DE，BC1⊄平面A1MC，DE∥平面A1MC，∴BC1∥平面A1MC，又BC1∩C1F＝C1，∴平面BC1F∥平面A1MC.考点三课堂小结1．判定直线与平面平行的方法证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形，寻找比例式证明两直线平行．2．判定面面平行的方法(1)利用定义：常用反证法．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．(4)利用两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．课堂小结3．证明线线平行的常用方法(1)利用公理4：找第三线，只需证明两线都与第三线平行即可．(2)利用三角形的中位线的性质．(3)构建平行四边形利用其对边平行．(5)利用面面平行的性质定理．4．注意易失误点(1)证明线面平行时，要注明该线不在平面内．(2)利用线面平行、面面平行证明线线平行时，要注明辅助线(面)与平面的交线．课时规范练课时跟踪检测本课内容结束