第5章测量误差基本知识

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1第五章测量误差基础知识2§5-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响3一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素:仪器原因仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响气象因素(温度变化,风,大气折光)结论:观测误差不可避免(粗差除外)有关名词:观测条件:上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测,称为等精度观测。4二、测量误差的分类与对策(一)分类系统误差——在相同的观测条件下,误差出现在符号和数值相同,或按一定的规律变化。例:误差钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)……5二、测量误差的分类与对策(一)分类偶然误差——在相同的观测条件下,误差出现的符号和数值大小都不相同,从表面看没有任何规律性,但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差(错误)例:估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差,导致观测值产生误差。6(二)处理原则粗差——细心,多余观测系统误差——找出规律,加以改正偶然误差——多余观测,制定限差7如何处理含有偶然误差的数据?例如:对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值?如何评价数据的精度?8三.偶然误差的特性1.偶然误差的定义:设某一量的真值为X,对该量进行了n次观测,得n个观测值,则产生了n个真误差:nlll,,,21n,,,21iilX(5-1-1)真误差真值观测值9•例如:•对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角和的误差i为i=180–(i+i+I)其结果如表6-1,图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。10误差区间负误差正误差误差绝对值dΔKK/nKK/nKK/n0~3450.126460.128910.2543~6400.112410.115810.2266~9330.092330.092660.1849~12230.064210.059440.12312~15170.047160.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.01750.014110.03121~2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000表6-1偶然误差的统计11-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性:偶然误差应小于限值。渐降性:误差小的出现的概率大对称性:绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性:当观测次数无限增大时,偶然误差的平均数趋近于零。12偶然误差的特性有限性:在有限次观测中,偶然误差应小于限值。渐降性:误差小的出现的概率大对称性:绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性:当观测次数无限增大时,偶然误差的平均数趋近于零。2)(221)(xexf13§5-2评定精度的标准一、方差和标准差(中误差)的偶然误差是观测值式中:叫标准差当离散型方差:iiniiiniiilnnppdfD,,1,)()(12212222中误差14§5-2评定精度的标准n二、相对中误差平均误差lnm][一、中误差15按观测值的真误差计算中误差第一组观测第二组观测次序观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03-39180°00ˊ00002180°00ˊ02-24159°59ˊ59+113179°59ˊ58+24180°00ˊ07-7494179°59ˊ56+416180°00ˊ02-245180°00ˊ01-11180°00ˊ01-116180°00ˊ0000179°59ˊ59+117180°00ˊ04-416179°59ˊ52+8648179°59ˊ57+39180°00ˊ00009179°59ˊ58+24179°59ˊ57+3910180°00ˊ03-39180°00ˊ01-11Σ||247224130中误差7.221nm6.322nm4.221n161)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率17正态分布2)(2)(22221)(1,0021)(xxexfxexf则若18m1较小,误差分布比较集中,观测值精度较高;m2较大,误差分布比较离散,观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较:m1=2.7m2=3.619正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时,f(x)0,所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知,在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率xxxx201)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf区别错误与误差的阀值随机变量X在区间(x1x2)之间的概率为则函数是连续型随机变量X的分布密度函数如果就得正态分布222)(21)(xexf219973.0)33()(9545.0)22()(6826.0)()(1)(,),(~332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正态分布为服从参数随机变量时当22三、极限误差22221)(0xexf则若9973.0)(9545.0)(6826.0)()(3322xfxfXPxf23m2允m3允或:24但大多数被观测对象的真值不知,任何评定观测值的精度,即:=?m=?寻找最接近真值的值x§5-3观测值的算术平均值及改正值25集中趋势的测度(最优值)中位数:设把n个观测值按大小排列,这时位于最中间的数就是“中位数”。众数:在n个数中,重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数:去掉lmax,lmin以后的平均数。xnlniil1算术平均数:满足最小二乘原则的最优解26xnlnlniil][1一、算术平均值:满足最小二乘原则的最优解27nnlXlXlX2211证明(x是最或然值)将上列等式相加,并除以n,得到XnlnnnnlXn][lim0][lim4][][)特性更据偶然误差第(xnl][28二、观测值的改正值•若被观测对象的真值不知,则取平均数为最优解xiiilxllvl改正值的特性0ivv定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解0l]-[2][2][xvdxvvdminiivv最小二乘0)(ilxxnl][29§5-4观测值的精度评定•标准差可按下式计算112nvmnii1122nvnii中误差30证明将上列左右两式相减,得nnlXlXlX2211nnlxvlxvlxv2211)()()(2211xXvxXvxXvnn31分别取平方222)()(2xXxXvviii 取和2)()(2][][xXnxXvvv 2)(][][xXnvv32取和2213121222221222][)(2][)(][)()()(][][nnnnxXnxXxXnxXnvnnn)(xXvii对1][][][][)(][][2nvvnnvvxXnvv    代入前式33计算标准差例子毫米16.3232.61540452.123][mnll次序观测值l改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11和123.45204034小结一、已知真值X,则真误差一、真值不知,则iilXnm][ilxivnlx][1][nvvm二、中误差二、中误差35§5-5误差传播定律已知:mx1,mx2,……mxn求:my=?...),(21xxfy设有函数式: nmyyy][y=?36观测值函数的中误差——误差传播定律一.观测值的函数例:高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……37二、几种常用函数的中误差(一)和(差)函数yxz已知:mx,my,求:mz=?nmzzz][)()(yyxxzzyxz38二、几种常用函数的中误差(一)和(差)函数yxz已知:mx,my,求:mz=?yxz111yxz222yxznnnyxz2222yyxxz211121212yyxxz222222222yyxxz2222nnnnnyyxxz和][][2][][222yyxxz39二、几种常用函数的中误差(一)和差函数yxz已知:mx,my,求:mz=?yxz2222yyxxz和][][2][][222yyxxznynyxnxnz][][2][][2222zm2xm2ym?0222yxzmmm40二、几种常用函数的中误差(一)和差函数yxz已知:mx,my,求:mz=?222yxzmmmyxz41二、几种常用函数的中误差(一)和差函数yxz已知:mx,my,求:mz=?yxz2222yyxxz和][][2][][222yyxxznynyxnxnz][][2][][2222zm2xm2ym0222yxzmmm42二、几种常用函数的中误差(二)倍乘函数kxz已知:mx,求:mz=?nmzzz][xkz11xkz22xkz22xkz21221xkz22222xkz222nnxkz和平方][][222xkz43二、几种常用函数的中误差(二)倍乘函数kxz已知:mx,求:mz=?nmzzz][xkz][][222xkznxknz][][222222xzmkmxzmkm44m2.0m5.168m2.0mm2002.0100010001000222SmmmmlSlS即lS1000解:例量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms:l1000:1列函数式中误差式45二、几种常用函数的中误差(三)线性函数nnxkxkxkz2211已知:mxi,求:mz=?222xymkmiiixky:令nyyyz21222212nyyyzmmmm22222221212nxnxxzmkmkmkm46(三)线性函数nnxkxkxkz221122222221212nxnxxzmkmkmkm特殊nlllxn21mmmmn21222222122111nxmnmnmn

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