2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题论文

摘要：本文对第一个问题做出了合理的假设，建立了阻滞增长模型预测2011后的工资增长，在确定工资的最大值时mx,采用了经验估计的方法，根据我国经济发展战略目标和目前我国工资的实际水平，利用目前中等发达国家的工资来代替mx。在spss中拟合出了以后每年的工资数据，与我国实际基本吻合。问题二由于个人工资变化情况比较复杂，在具体计算过程中，为了将问题简化，引入平均工资增长率这一概念。影响平均工资增长率的因素有两个：社会平均工资增长和企业平均工资增长。利用题中的假设和附件给出的计算公式进行计算，算出本人指数化月平均缴费工资，进而算出基础养老金。计算出职工退休前个人账户总额，进而算出个人账户养老金。得出各种情况的替代率，并用表格进行了总结。问题三在问题二的基础进行计算，对于职工个人账户余额所产生的利息进行了简化计算，不考虑复利的情况。得出了个人缴存的养老金总额，利用问题二中算出的职工养老金额建立方程，可以解出收支平衡的月份，进而算出养老金的缺口。但该方程编写程序比较，在具体计算时，查阅一个简单公式:(1/12)log1/12rPlPZr来计算收支平衡的月份。进而算出各种情况下养老金的缺口。问题四，在问题二和问题三的基础上，大致分析了影响替代率的因素，和影响收支平衡的因素。建立了一个收支的不等式，讨论了既要维持收支平衡又要提高替代率所采取的措施：根据缴费月数12*m来调整计划发养老金月数n，使二者近似相等达到收支平衡，同时通过提高个人缴费比划C和个人平均缴费指数R来提高替代率。最后对模型的优缺点进行了讨论。关键词：替代率SPSS养老保险金缺口收支平衡阻滞模型11问题重述养老金也称退休金，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。问题一是对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并通过山东省职工历年平均工资数据，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二是根据2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三是假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡问。题四是如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。2问题分析针对问题一先对未来中国经济发展和工资增长的形势做出客观、合理的假设，然后用SPSS软件分析历史数据，得出一个阻滞增长模型，进而预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。针对问题二首先计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比把它们的比值看作职工缴费指数的参考值，进而计算不同情况下的养老金，再结合问题一就可以算出不同情况下的养老金替代率。问题三结合前面两问，算出各种情况下的职工所投保险费可以支付职工的月数，养老金的实际缺口。问题二和问题三采用附件给出的公式，进行计算。在具体计算过程中，为了将问题简化，引入平均工资增长率这一概念，影响平均工资增长率的因素有两个：社会平均工资增长和企业平均工资增长。社会平均工资增长主要是由社会经济的发展引起的全社会工资的增长；企业平均工资增长，是由于职工由于工作经验和工作时间等因素引起的自身工资的增长。问题四结合问题二和问题三其缴存的养老保险基金与领取的养老金之间达到收支平衡的条件，和影响替代率的因素。3符号说明P：表示基础养老金；2Q:表示个人账户养老金；W：退休前的上年度社会平均月工资；S:本人指数化月平均缴费工资C：表示个人账户缴费比例；D：表示社会统筹账户缴费比例；V：职工交养老金时的月工资；U：职工交养老金时的社会平均月工资；R：职工平均缴费指数；T:替代率；m：缴费年限；n：计发月数；l:养老金之间达到收支平衡时的月份数；ix为参保人员退休前i年本人缴费工资额；ic为参保人员退休前i年全省社会平均工资；iixc称为退休前第i年的缴费指数q：社平工资增长率；r：个人账户记账利率；Z1：退休前个人账户总额；Z2：退休前社会统筹账户总额；Z3：退休后个人账户总额所产生的利息和；Z：养老金缺口；4模型假设1根据前三十年我国经济发展状况和经济发展战略目标，我国经济的增长，2010前经济的增长速度越来越快，2010年后经济增长速度越来越慢，最后趋向平稳。2假设国家未来宏观调控政策好，社会因素稳定，国家没有战争和暴动，不考虑金融危机的影响对我国经济的影响；3假设工资增长水平与经济增长水平成正比。4.个人工资的增长由两部分构成，全省平均工资的增长和企业内部由工作经验引起的工资增长。5把企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工缴费指数的参考值6.银行利率没有发生变化，始终以年利率3%进行计算。5模型建立与求解5.1问题一的求解模型的建立利用时间和平均工资做散点图可知，二者的呈曲线关系如下图，（程序见附录一）3年份202020102000199019801970平均工资400003000020000100000图1由散点图可以看出，工资的增长速度越来越快，但是根据我国经济发展战略目标和目前发达国家的经济和工资水平2010后的工资增长速度会逐渐变慢。由此，考虑使用阻滞增长模型来预测未来工资的数据。阻滞作用体现在对经济增长率r的影响上，使得r随着经济规模x的增长而下降。将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数，可得00,xxxxrdtdx（1）对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即sxrxr)0,0(sr（2）当mxx时经济不再增长，即增长率0mxr，带入（2）式得mxrs，于是（2）式为mxxrxr1（3）当增长率xr与经济尚未实现部分的比例mmxxx)(成正比，比例系数为固有增长率r。将（3)代入方程（1）得)1(mxxrxdtdx，0)0(xx（4）4方程（4）右端的因子rx体现经济的增长趋势，因子)1(mxx则体现了资源对经济增长的阻滞作用。显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，经济增长是两个因子共同作用的结果。方程（4）利用分离变量法求解得到rtmmexxxtx11)(0（5）参数估计根据我国经济发展的战略目标，对于参数mx的估计，上网查阅资料，查阅目前中等发达国家，比如韩国，现在的工资水平：2万美元即人民币12.7万元。作为本方程中的mx。拟合后逼近程度相关数据805.02R大于0.7，检验统计量F=5632.66的P值等于0。03小于0.05（允许的误差范围）通过检验，所以可以认为我国的经济和工资增长应配合阻滞增长模型。上述方程（5），在SPSS用阻滞增长模型里可以很快的求出每年的工资水平，具体数据见下表。表格1年份预测平均工资201133199201236720201340454201444380201548475201652706201757038201861432201965845202070236202174563202278787202382871202486787202590507202694015202797296520281003432029103154203010573120311080812032110213203311213720341138682035115417各年工资数据拟合曲线如下图：平均工资时间60504030201002000001000000-100000ObservedLogistic图2由以上拟合图可以看出利用阻滞增长模型比较符合我国经济发展过程和国际现状。5.2问题二的求解5.2.1.预处理取每组月收入范围的中数jy（j=12345645678）作为每个年龄段职工的工资，各年龄段职工总工资L=81J（同一年龄段不同月收入范围的人数jy），总人数P=同一年龄段人数总和。各年龄职工平均工资W=各年龄段职工总工资L总人数P，职工缴费指数的参考值C=各年龄段职工平均工资W该企业的平均工资。通过计算得到以下各年龄段的不同数据。6首先在计算该企业各年龄段的平均工资时，取工资的中值，然后进行加权平均即可得到平均工资。在excel表格中即可算出各年龄的平均工资和该企业的总工资。对应的可以算二者之间的比值。具体见下表：表2年龄段平均工资与平均工资的比值（缴费指数）企业内部工资增长率20-24岁职工数1731.950.6699908070.20211078325-29岁职工数2081.9960.8054031730.22002271130-34岁职工数2540.0830.9826101630.08542911135-39岁职工数2757.081.0665536750.09922689940-44岁职工数3030.6561.1723844880.07979068245-49岁职工数3272.4741.265929847-0.04564225950-54岁职工数3123.1111.208149949-0.04426983955-59岁职工数2984.8511.154665345企业平均工资2585.036由上表数据用MATLAB预测出60-64岁职工平均工资（W）为2889.5元，职工缴费指数参考值（C）为1.130。（详见附录二）为了计算退休前个人账户储存额的方便我们引入职工工资的平均增长率。影响平均增长率的因素有两个：1.社会工资增长，主要是因为国家或地区经济的增长导致的工资的增长2.企业工龄工资增长，主要是由于职工工作年限比较长以后，工作经验变丰富后，相应的工资也应该提高。在excel表格里可以很快算出社会工资增长率和企业工龄工资增长率。采用这两个增长率的平均值作为职工工资的平均增长率，还可以将职工工资的平均增长率转换成月平均增长率。具体数据见下表。表3企业内年平均工资增长率0.01704766社会工资平均增长率0.078职工工资总体年平均增长率0.044766222职工工资总体月平均增长率0.0037305185.2.2替代率的计算定义1替代率：是指职工刚退休时的养老金占退休前一年工资的比例。7根据替代率的定义，退休前一年的工资使用第一问中的结论即可，所以本问题的重点是求出职工退休时的养老金。职工退休时的养老金由两部分组成：养老金=基础养老金+个人账户养老金基础养老金的计算公式如下：P=（W+S）÷2×m×1%111121212mmcccxxxcccSm(1)公式(1)中，12,,,mxxx为参保人员退休前1年、2年、……、m年本人缴费工资额；12,,,mccc为参保人员退休前1年、2年、……、m年全省社会平均工资；iixc称为退休前第i年的缴费指数，i=1,…,m.在本问中缴费指数直接采用表一中的各年段工资与企业平均工资的比值。个人账户养老金的计算公式如下：121120(1)(1)mmiiiQCvrq/n（2）替代率的计算公式：PQTW（3）利用上述公式在matlab中算出个人账户养老金，（程序见