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第三节二项式定理1．二项式定理(1)(a＋b)n＝______________________________________．(2)第r＋1项，Tr＋1＝_____________.(3)第r＋1项的二项式系数为_____.CrnCrnan－rbr2．二项式系数的性质(1)0≤k≤n时，Ckn与Cn－kn的关系是____________.(2)二项式系数先增后减中间项最大，且n为偶数时第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为_________；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为________________.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___.Ckn＝Cn－knCn－12n或Cn＋12n2n1．在公式中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？【提示】从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项Tk＋1＝Cknan－kbk，(b＋a)n的第k＋1项T′k＋1＝Cknbn－kak.2．二项式系数与项的系数有什么区别？【提示】二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．1．(教材改编题)(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第n项B．第n＋1项C．第n＋2项D．第n－1项【解析】在(1＋x)2n的展开式中，各项的系数和其二项式系数相等，故系数最大的项是第n＋1项．【答案】B2．(2011·福建高考)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10【解析】(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令r＝2，得x2的系数为22·C25＝40.【答案】B3．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为()A．1B．129C．128D．127【解析】令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝128.令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.【答案】B4．(2011·山东高考)若(x－ax2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．【解析】展开式的通项Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)r(a)r·x－2r＝Cr6x6－3r(－1)r·(a)r.令6－3r＝0，得r＝2.故C26(a)2＝60，解得a＝4.【答案】4通项公式及其应用已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求含x2的项的系数；(2)求展开式中所有的有理项．【思路点拨】(1)写出通项Tr＋1，先求n，再求含x2的项的系数．(2)寻找使x的指数为整数的r值，从而确定有理项．【尝试解答】(1)通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－12)rx－r3＝Crn(－12)rxn－2r3.因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(2)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z，且0≤r≤10.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.1．解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．(2011·浙江高考)设二项式(x－ax)6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．【解析】(x－ax)6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCr6x6－32r，令6－32r＝3，∴r＝2.则A＝(－a)2C26＝a2C26.令6－32r＝0，∴r＝4，则B＝(－a)4C46.由B＝4A，得(－a)4C46＝4(－a)2C26，∴a＝±2.又a＞0，所以a＝2.【答案】2已知(3－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【思路点拨】利用赋值法构造等式求解．二项式系数或各项的系数和【尝试解答】(1)令x＝0得a0＝37.令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，①所以a1＋a2＋…＋a7＝1－37＝－2186.(2)令x＝－1得a0－a1＋a2＋…－a7＝57，②①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－39062，故a1＋a3＋a5＋a7＝－19531.(3)①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝1＋57，∴a0＋a2＋a4＋a6＝39063.(4)因为(3＋2x)7与(3－2x)7的展开式中对应项的系数的绝对值相等，而(3＋2x)7展开各项系数均为正数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(3＋2x)7的展开式的各项系数和，故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝57＝78125.1．对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值的和等问题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式)．赋值时要注意根据目标进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，－1或目标式的值．2．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2011·安徽高考改编)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则(1)a10＋a11＝________；(2)a1＋a2＋…＋a21＝________.【解析】(1)由二项展开式知Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r，∴a10＋a11＝C1121(－1)11＋C1021(－1)10＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.(2)令x＝0，得a0＝－1，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a21＝0，所以a1＋a2＋…＋a21＝1.【答案】(1)0(2)1二项式定理的应用(1)1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87(2)证明：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．【思路点拨】(1)转化为(a＋b)n的形式，调整a，b的值，再展开求解；(2)先求和，再用二项式定理求解．【尝试解答】(1)原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1∵前10项均能被88整除，∴余数是1.【答案】B(2)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝1－25n1－2＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C1n·31n－1＋C2n·31n－2＋…＋Cn－1n·31＋1－1＝31(31n－1＋C1n·31n－2＋…＋Cn－1n)．显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．1．解答本题时，首先要对和式进行正确转化，然后化为(a＋b)n的形式展开求解．2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．同时，要注意余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．已知函数f(x)＝(x－1)5－5(x－1)4＋10(x－1)3－10(x－1)2＋5x－1，f′(x)是函数f(x)的导数，则f′(3)＝________.【解析】f(x)＝(x－1)5－5(x－1)4＋10(x－1)3－10(x－1)2＋5(x－1)－1＋5＝[(x－1)－1]5＋5＝(x－2)5＋5.于是f′(x)＝[(x－2)5＋5]′＝5(x－2)4，故f′(3)＝5(3－2)4＝5.【答案】5从近两年的高考试题来看，求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，题型为选择题或填空题，属容易题，在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思想、等价转化思想．预测2013年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用．思想方法之十七赋值法在二项展开式中的应用(2011·课标全国卷)(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40【解析】在(x＋ax)(2x－1x)5中，令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，∴a＝1.∵(2x－1x)5展式项的通项Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－1x)r＝Cr5·25－r(－1)r·x5－2r.令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此(2x－1x)5展开式中x的系数为C2525－2(－1)2＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此(2x－1x)5展开式中1x的系数为C3525－3·(－1)3＝－40.所以(x＋1x)(2x－1x)5展开式中的常数项为80－40＝40.【答案】D易错提示：(1)不能运用赋值法求a的值，把(x＋ax)(2x－1x)5全部展开，运算繁琐．(2)对展开式的常数项的来源分析不清导致错误．防范措施：(1)二项式定理是一个恒等式，因此我们可以根据需要对变量x进行赋值，从而得到关于参数的方程，求出参数的值．(2)展开式的常数项来源于：①“x＋ax”中的x与(2x－1x)5展开式中的含1x项相乘；②ax与(2x－1x)5展开式中的含x项相乘．1．(2011·陕西高考)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20B．－15C．15D．20【解析】设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝Cr6(4x)6－r(－2－x)r＝(－1)r·Cr6·22x(6－r)·2－rx＝(－1)r·Cr6·212x－3rx.∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4.∴T5＝(－1)4·C46＝15.【答案】C2．(2011·全国高考)(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．【解析】∵Tr＋1＝Cr20(－x12)r＝(－1)r·Cr20·xr2，∴x与x9的系数分别为C220与C1820.又∵C220＝C1820，∴C220－C1820＝0.【答案】0