2013届高考理科数学第一轮总复习课件51

1第六章不等式第讲（第一课时）2考点搜索●比较法●综合法●分析法●反证法●放缩法●换元法●判别式法3高考猜想不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题频繁出现，常常与函数、数列、三角函数等综合，考查逻辑推理能力，是高考常考的一项重要内容.4一、比较法1.作差比较法要证不等式a＞b(或a＜b)，只需证a-b＞0(或a-b＜0)即可.其步骤为：作差→变形(常用变形方法有：通分，因式分解，配方等)→判断(各因式大于或小于0).2.作商比较法当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时可采用作商比较法.5若b＞0,欲证a＞b,只需证＞1;欲证a＜b,只需证＜1.其步骤为：作商→变形→判断(大于或小于1).二、综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的基本性质推导出欲证的不等式(由因导果).在证明时,还常要用到以下证题依据：abab61.若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，(a-b)2≥0.2.若a，b同号，则3.平方和不等式：若a，b∈R，则a2+b2≥4.均值不等式：若a，b均为正数，则若a，b∈R，则a2+b2≥2ab.5.倒数和不等式：若a，b均为正数，则.baab2.b)(a221;abba2.)bab)((a4117三、分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“执果索因”.四、反证法假设所证不等式不成立，结合已知条件和不等式的基本性质推出一个矛盾的结论，从而得出所证不等式成立.8五、用放缩法证明不等式经常用到的方法技巧有：1.①___②___.2.③___④___；⑤___⑥___.1-kk11kkk2121k1(-1)kk11--1kk21k1(1)kk11-1kk===91.若a、b是正数，则这四个数的大小顺序是()22222ababababab、、、222222222A.222B.222C.222D.22ababababababababababababababababababababC10解：可设a=1，b=2，则322ab，2423ababab，，221452.5.222ab112.设0＜x＜1,则中最大的一个是()A.aB.bC.cD.不能确定解：因为0＜x＜1，所以1+x＞所以只需比较1+x与的大小.因为所以C1211-axbxcx，，242.xxx11-x2211--11--01-1-1-xxxxxx11.1-xx123.对实数a和x而言，不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3成立的充要条件是______.解：(x3+13a2x)-(5ax2+9a3)=x3-5ax2+13a2x-9a3=(x-a)(x2-4ax+9a2)=(x-a)［(x-2a)2+5a2］＞0.因为当x≠2a≠0时，有(x-2a)2+5a2＞0.由题意知只需x-a＞0，即x＞a，以上过程可逆.x＞a131.已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a、b、c是三角形的三边，令求证：ts.证明：题型1用均值不等式证明不等式14sabc，111.tabc11sin.2224ABCcabcSabCabRR14又因为R=1，S△ABC=,所以abc=1.所以所以s≤t,且t=s的条件是a=b=c=1，此时S△ABC=与已知矛盾.所以ts.点评：本题考查均值不等式的应用.应用均值不等式证明时，注意构造成应用均值不等式的形式.1434111111111.222sabcbccaabbccaabt15已知a、b∈R+，求证：证明：因为a、b∈R+，所以122.abab2abab112abababab12222abab162.已知a＞0，b＞0，求证:证法1：因为a＞0，b＞0，所以所以题型2用比较法证不等式22.baabab22222-()(-)(-)()(-)(-)()111(-)()(-)(-)().babaababababbabaabababababababbaab21(-)()0ababab，22.baabab17证法2:由于且所以有证法3:因为所以故223322-2-1()baabaabbabababababababab，2200baabab，，22.baabab22222222bbaaaabbbaaabb，，2222baababab，22.baabab18点评：比较法分差值比较法与商值比较法两种，用比较法证不等式的关键在于作差(商)后的变形，注意因式分解、通分、配方等变形的运用，变形的方向就是有利于式子与0(或1)的比较.19已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)，当实数p、q满足p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是0≤p≤1.证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y2=pqx2-2pqxy+pqy2=pq(x-y)2.20充分性：若0≤p≤1，则q=1-p∈［0，1］，所以pq(x-y)2≥0，故pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).必要性：若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),则pq(x-y)2≥0.因为(x-y)2≥0，所以pq≥0，即p(1-p)≥0，所以0≤p≤1.综上所述，原命题成立.213.已知a＞0，b＞0，c＞0，a，b，c不全相等，求证：证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以又因为a，b，c不全相等，所以上面三式不能全取等号，三式相加得题型3用综合法证不等式.bcacababcabc222222bcacbcacbcabcababacbcabacabacabbaacbcbc，，，.bcacababcabc22点评：本题所要证的式子是轮换式形式：即交换a，b，c的位置，题中条件和结论都不会变，此类题用综合法证明时，关键是先得到某两个(或多个)关系式之间的一个不等关系，再用同样的方法得到其他的不等式，然后再综合得出整个要证明的式子.23已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥13.24证明：方法1：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1)＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2]＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0.所以a2＋b2＋c2≥13.25方法2：因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，所以3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，所以a2＋b2＋c2≥13.26方法3：设a＝13＋α，b＝13＋β，c＝13＋γ.因为a＋b＋c＝1，所以α＋β＋γ＝0.所以a2＋b2＋c2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.所以a2＋b2＋c2≥13.27已知函数f(x)=|1-|，若b＞a＞0，且f(a)=f(b)，证明：ab＞1.证明：由已知，当x≥1时，f(x)=1-;当0＜x＜1时，f(x)=-1.所以f(x)在(0，1］上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.参考题参考题1x1x1x28因为b＞a＞0，f(a)=f(b)，所以0＜a＜1＜b，且即即a+b=2ab.因为a＞0，b＞0，a≠b，所以a+b＞2，从而2ab＞2＞0，所以＞1，即ab＞1.11-11-,ab112,abababab291.作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或配方利用非负数的性质进行判断.2.综合法证明不等式，主要利用重要不等式，函数的单调性及不等式的性质，在严密的演绎推理下推导出结论.