数学建模-企业退休职工养老金制度的改革

1企业退休职工养老金制度的改革摘要现在我国养老保险改革正处于过渡期，养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它直接关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。本题旨在通过未来山东省年平均工资的预测，从而得到替代率以及养老保险基金的缺口情况，最后提出使养老金收支平衡的措施。就问题一而言，据附件一数据（用Excel）所作山东省职工年平均工资的曲线图以及已知发达国家经济发展与工资增长的趋势，合理假设山东省职工年平均工资的增长率先变大再变小最后趋于稳定，即为isticlog曲线，所以我们采用阻滞增长模型00)1(xxxxxrdtdxm来建模，由于所得模型与实际不符，于是得到改进的阻滞增长模型rtekabtx)1()(，并根据附件一数据利用aMathematic软件拟合出山东省职工年平均工资函数模型：tetx135775.0175562.100423673.0326.296)(）（，然后根据改进函数模型求出相对应年份的职工年平均工资。问题二中，先用Excel计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，再根据问题中把这些比值作为职工缴费指数的假设及附件3中的计算方法求解六种情况下退休时的养老金，再根据替代率公式求出对应的替代率为：年龄段30-5530-6030-6540-5540-6040-65替代率33.0%41.6%55.5%45.4%31.1%41.3%对于问题三，首先要了解养老金缺口是指职工领取的养老金大于缴纳的养老金而产生资金缺口（其中领取的养老金即根据问题二中前三种情况下计算得的退休时养老金累计到死亡时领取的总和，而缴纳的养老金可依据文中给出的企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式计算出缴纳养老金总和），然后可以求得当养老金收支平衡时职工的年龄。最后对于问题四中，一方面通过及时补充商业保险，另一方面合理延迟退休年龄或是合理延迟就业年龄，这样就可以在达到目标替代率的前提下，使养老金收支平衡。关键词：logistic模型、aMathematic、替代率2问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。模型假设(1)假设问题一中中国经济发展和工资增长形势类似发达国家，开始时增长3很快之后缓慢并趋于平稳；(2)假设问题二中2009年各年龄段职工月工资取工资范围的中间值；(3)假设问题二、三中将2009年该企业各年龄阶段职工工资与该企业平均工资之比作为职工的缴费指数；(4)题中未提供年龄段在60-64岁职工的月收入数据，特假设问题二、三中将年龄段在55-59岁职工的缴费指数作为年龄段在60-64岁职工的缴费指数；(5)假设问题三中不考虑隐性债务，并且职工在领取养老金时其个人账户养老金无利率。符号说明(1)y为退休时的养老金；(2)m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限；(3)n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计；(4)mxxx,.....,,21为参保人员退休前1年、2年、…、m年本人缴费工资额；(5)mccc,.....,,21为参保人员退休前1年、2年、…、m年为山东省职工平均工资；(6)iicx为退休前第i年的缴费指数（mi,....,2,1）；(7)E为计发月数；(8)A为个人总缴纳养老保险基金；(9)B为领取的养老金与缴纳的养老保险的差值；(10)t为养老保金达到收支平衡时该职工的年龄；(11)v为养老金的替代率。模型的建立与求解问题一：根据附件1利用Excel可画出山东省职工从1978-2010年年平均工资图，如下图所示：4山东省职工平均工资统计表05000100001500020000250003000035000197819821986199019941998200220062010上图可以看出山东省历年职工平均工资增长趋势，符合近30年我国经济发展迅速、工资增长率高的趋势。又查资料可知发达国家经济发展和工资增长速度初期加快之后减慢趋于平稳，我们假设中国经济发展和工资增长速度也是开始时增长很快之后缓慢趋于平稳。为了预测未来山东省职工的年平均工资，我们建立阻滞增长模型：00)1(xxxxxrdtdxm其中，mx表示年平均工资所能达到最大值，r表示增长率，解得：rtmmexxxtx)1(1)(0下面对阻滞模型进行分析：mx是年平均工资所能达到的极限值，而当t时，mrtmmtxexxxtx)1(1)(lim0，这样无法求出mx，所以我们对此模型进行改进，令rtekabtx)1()(（kba、、是待定系数）。利用aMathematic软件，我们用附件1数据（山东省1978-2010年职工平均工资）进行拟合，得到如下模型：tetx135775.0175562.100423673.0326.296)(）（5下图所示是用附件1数据（山东省1978-2010年职工平均工资）所画散点图与根据预测函数模型画出的曲线图的比较，从图可以看出，预测所得（1978—2010）数据与附件1给出的数据（山东省1978-2010年平均工资）接近吻合，并且未来山东省职工年平均工资增长速度也是先快后慢最后趋于平稳，所以改进后的模型能够正确预测山东省职工未来的年平均工资。20406080100100000200000300000400000500000600000700000由改进后的模型可以得到山东省2011—2035年的职工年平均工资，如下表：年份20112012201320142015年平均工资37529.342654.148427.554917.162193.2年份20162017201820192020年平均工资70328.279394.689463.7100603112872年份20212022202320242025年平均工资126321140988156892174031192378年份20262027202820292030年平均工资211880232452253981276323299311年份20312032203320342035年平均工资322752346440370157393688416820问题二：（一）由于附件2中各年龄段职工的工资给出的数据是一个范围，所以为方便计算我们取各年龄段职工月工资范围中间值作为这个年龄段的月工资。则企业各年龄阶段职工月平均工资为各年龄段职工月工资乘以工资范围对应的人数，然后累加除以该年龄段职工的总人数，同理可求得企业的月平均工资，从而得到企业各年龄阶段职工月平均工资与企业月平均工资的比值如下表：6各年龄段各年龄段职工的月平均工资（元）企业的月平均工资（元）2009年各年龄阶段职工工资与该企业平均工资比值20-24岁职工数1726.952580.228370.6693013625-29岁职工数2077.002580.228370.8049660430-34岁职工数2535.122580.228370.9825192235-39岁职工数2752.212580.228371.0666545740-44岁职工数3026.022580.228371.1727714345-49岁职工数3268.042580.228371.2665705450-54岁职工数3118.522580.228371.2086211355-59岁职工数2980.202580.228371.15501328（二）由题可得：退休时的养老金替代率是职工刚退休时的养老金与退休前工资的比值。首先根据附件3中的公式可以求出刚退休时的养老金（其中把2009年各年龄阶段职工工资与该企业平均工资求出的比值看作职工缴费指数的参考值）。然后退休前工资（全省上年度在岗职工的月平均工资）可根据问题一中预测的未来山东省职工平均工资数据中求得。其中由附件3可知：（1）退休时的养老金=基础养老金+个人账户养老金；（2）基础养老金=（全省上年度在岗职工的月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%；（3）本人指数化平均缴费工资nccxccxccxsmm1212111；（4）个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数=Eximii/%)31(%81。则可得退休时的养老金：其中iiiiccxx（iicx是缴费指数，即为2009年各年龄段所对应的缴费指数）。根据上述公式利用aMathematic软件及问题一中的预测所得山东省职工的年平均工资可以计算退休时的养老金。（1）从30岁到55岁退休时的养老保险金：ExmncxcxcxccExmnccxccxccxcyimiimmimiimm/%)31(%8%1212/%)31(%8%121212211111121211117其中,05.6521.151iiicx35.6527.1106iiicx，85.5517.11511iiicx,35.5507.12016ii