2014数学建模论文【A题】

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：06023035所属学校（请填写完整的全名）：辽宁工业大学参赛队员(打印并签名)：1.许铭2.潘凤麟3.薛丹指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李树有（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要：研究嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略。针对问题一，通过题目与附录一所给出的数据，根据嫦娥三号着陆准备时绕行轨道是椭圆轨道，以开普勒定三大律为基础，确定近月点与远月点嫦娥三号绕行的速度及方向，再根据题目所给着陆点，建立空间直角坐标系来确定近月点与远月点位置坐标。最后求得如下数据：近月点速度为1.69skm，它的坐标)97.1246,85.403,203.612(kmkmkm远月点速度为1.61skm，它的坐标为)97.1246,85.403,823.2876(kmkmkm，速度的方向均是沿月球自转方向。针对问题二，在仔细研读了附录二的内容之后，采用约束变换法，分段逼近法，以及积分变换法，从燃耗优化，轨迹优化两个方面，粗略地提出了嫦娥三号软着陆轨道的优化方案并应用Geogebra软件最终确定了着陆轨迹。最后得出最优燃耗为823.77kg，着陆轨迹详见正文部分图4。针对问题三，进行了误差分析与敏感性分析，通过建立影响月球软着陆主制动段制导精度的误差模型，并运用误差敏感系数矩阵对所设计制导律的制导误差做出了分析。结果表明：与初始位置偏差相比，初始速度偏差对终端各状态的影响要大；位置、速度测量误差分别只对本轴终端位置速度影响较大；制导律对刻度因素误差最敏感。关键词：开普勒三大定律，Geogebra软件，优化控制，误差敏感性分析2一、问题重述嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，它通过下部的主减速发动机和四周的姿态调整发动机完成一系列飞行动作，现已知嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号着陆轨道设计有一些基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，并要求在飞行过程中尽量减小对燃料的消耗。根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）提出嫦娥三号软着陆过程的最优燃耗，最优轨迹方案。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、模型假设1、假设诸如月球引力、日月引力摄动等影响因素均忽略不计。2、假设由月球自转引起的哥氏力和牵引力的影响均可忽略。3、假设侧滑角以及滚转角均为0。4、假设月球自转可以忽略。5、假设登月器在一个固定的铅垂面内运动。三、符号说明符号意义a嫦娥三号着陆准备绕行椭圆轨道长轴距离b嫦娥三号着陆准备绕行椭圆轨道短轴距离c嫦娥三号着陆准备绕行椭圆轨道焦距距离R月球半径3AR近月点A曲率半径BR远月点B曲率半径M月球质量m嫦娥三号质量AV嫦娥三号在近月点的速度BV嫦娥三号在远月点的速度G万有引力常量221110672.6kgmNLfLfLfzyx,,预定着陆点在坐标系中的坐标，调节参数ft终端时刻的待定参数00，系统的待定参数J使性能指标Q定义待测量X观测量的实际输出值4图1四、模型的建立4.1模型一4.1.1模型一建立与求解众所周知,太阳系中的八大行星都在按照各自的椭圆轨道绕太阳进行公转,太阳位于椭圆的一个焦点上.行星的运动遵循开普勒三定律。我们拟从行星运动的轨迹方程来探究嫦娥三号在近月点和远月点的速度。由于嫦娥三号着陆准备时绕行轨道为椭圆轨道，陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道，可以得出由于月球半径已知kmR013.1737可以得出，，然后应用轨迹方程法，该解法的指导思想是对椭圆的轨迹方程求导,并结合一般曲线的曲率半径通式求出近月点和远月点的曲率半径表达式,然后利用万有引力提供向心力列方程求解.如图1椭圆轨迹方程所示为将式变形为根据隐函数求导法则将是式对x求导有kmRca15kmRca100222backmc5.42kma513.1794kmb009.1794abcO),0(aABBVAVyxF12222aybx)1.4()1.4(222222baybxa)2.4()2.4(02222yybxa)3.4(5即将)3.4(再次对x求导得将)4.4)(3.4(两式联立得（4.5）根据曲率半径公式有（4.6）将)6.4)(5.4)(4.4(式联立并将A点坐标带入可得A点的曲率半径为（4.7）根据椭圆的对称性远月点B的曲率半径为由于在A,B嫦娥三号运行速度方向与万有引力方向垂直，万有引力只改变速度方向，并不改变速度大小，故分别万有引力提供向心力得已知月球质量，将)7.4)(6.4)(5.4(联立可得ybxay22)4.4(0)(2222yyyybxa3424222ybxaybayyyr232)1(),0(aAabRA2abRRAB2AARmVcaGMm22)(BARmVcaGMm22)(skmaGMcabVA69.1kgM22103477.76方向为月球自转方向如图所示，假设嫦娥三号的预定着陆点在点)12.44,51.19(NWO，如图2在着陆点O建立空间直角坐标系Oxyz，由此着陆点经纬度坐标可知12.44，51.19，已知月球半径kmR013.1737，由此可知着陆点到月球赤道所在平面投影点O距离cosRh。即kmh97.1246。如图3，在月球赤道平面建立11yAx直角坐标系，可知投影点O到1x轴距离为sinsinRd即kmd85.403，投影点O到1y轴距离为cossinRf即kmf81.1139。我又有知道在椭圆轨道中半长轴，半短轴，半焦距距离，，由以上数据可在空间直角坐标系Oxyz中确定近月点与远月点坐标，近月点横坐标为fcaxj即kmxj203.612近月点纵坐标为dyj即kmyj85.403，近月点竖坐标为hzj即kmzj97.1246，远月点横坐标为)(fcaxyskmaGMcabVB61.1xzyOhRdfO1x1yAkmc5.42kma513.1794kmb009.1794图3图27即kmxy823.2876，远月点纵坐标与竖坐标与近月点相同。综上所述近月点在空间直角坐标系Oxyz中坐标为)97.1246,85.403,203.612(kmkmkm。远月点坐标为)97.1246,85.403,823.2876(kmkmkm。4.2模型二4.2.1模型二建立与求解（一）参数化控制求解耗燃最优问题我们在建立和解决该模型时，参考了文献[1]中约束变换，分段逼近以及积分变换的三种数学手段。按照耗燃最优的要求，取性能指标为在实际情况下，通常没必要令探测器着陆速度严格等于零，只要能保证探测器以很小的相对速度降落到月面就足可以接受的。因此，考虑到这一点，将软着陆的末速度要求以惩罚因子的形式加入到指标中如下式所示，主要目的是降低最优控制问题求解的复杂度，该惩罚因子可以通过反复的数值仿真运算，按照经验设定，有此外，显然有约束条件其中Lfx，Lfy，Lfz为预定着陆点在坐标系中的坐标，222zyxrf为着陆点到月心的距离，即月球半径。显然04g等价于ftftFdtCmdttmmJf000)()0(ftfzLfyLfxLFdtCtVtVtVkJ01222)()()(0g0)(g0)(g0)(g2224321fLffLLffLLffLrzyxztzytyxtxG00,min)(044dtggLft8但上式显然在04g时不可微，因此用如下不等式去近似上式(4.8)其中0,0是调节参数，当足够小的时候，存在0）（，使得对任何满足)(0的能够达到满足要求的近似，不妨记G为用（4.8）式替换0g4得到的新约束函数假定初始时刻为0，终端时刻ft为待定参数。选取满足的序列nipipt0和三组参数ppiFpipivni,....1,0,,,,,,，构造形如pppnipipipiFpnipipipipnipipipivpttttFttttttttv)(,)()(,)()(,)(1,1,1,的参数化分段常数控制器。其中otherwisettttttpipipipi,0,,1)(,11显然，对于每个给定的P，这都是一个有限维的参数优化问题，从1,0s到ftt,0构造如下变换0)(40dtgGft)(0)(4)()(4424444ggggggG）（fpnpipiptttttp......010)()()(1111pipiijpjpjpjsst9上式中，ppipipinis,...,1,0,,,01序列npipi0,为1,0上预先给定的分段点，并且满足1......010pnpipipp将上式两端对s求导得svdssdtp)(ssvpnipipipip,1otherwisesspipipipi,0,,1,11不妨令,ˆststxsxsvstusuppˆ则得到如下增广系统svststustxfsvdsxdppp,,)(ˆ即pppxLLLPpzLyLPpyLxLLxLPpxLzLpLyLpLxLpLvdsdtCFvdsmdVgmFQvdsVdgmFPvdsVdVgmAFOvdsVdVvdsdzVvdsdyVvdsxdˆˆˆ2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆz10其中QPOˆ,ˆ,ˆ与zLyLxLgggˆ,ˆ,ˆ分别为QPO,,与zLyLxLgggˆ,ˆ,ˆ经过变换后的形式，stmmstVVstV