第九章-数字滤波器的分类及结构

电器信息工程学院蔡超峰数字滤波器的实质是用有限精度算法实现的离散时间LSI系统，以完成对信号进行滤波处理的功能。其输入是一组由模拟信号经过抽样和量化的数字信号，输出是经过处理的另一组数字信号。数字滤波器既可以是一台由数字硬件装配成的用于完成滤波计算功能的专用机，也可以是由通用计算机完成的一组运算程序。本章主要介绍数字滤波器的分类及结构。引言第九章数字滤波器的分类及结构1.数字滤波器的分类2.数字滤波器结构的表示方法3.IIR滤波器的结构4.FIR滤波器的结构5.离散时间系统的Lattice结构根据单位冲激响应h(n)的时间特性分类：无限冲激响应数字滤波器（IIR）有限冲激响应数字滤波器（FIR）根据实现方法和形式分类:递归型数字滤波器非递归型数字滤波器根据频率特性分类：低通数字滤波器高通数字滤波器带通数字滤波器带阻数字滤波器1.滤波器的分类数字滤波器可以用一个差分方程来描述：由上式可以看出，实现一个数字滤波器需要几种基本的运算单元：加法器、单位延迟和常数乘法器。这些基本的单元可以有两种表示方法：方框图法和信号流图法，因此一个数字滤波器也可也有两种表示方法：方框图法和信号流图法。2.数字滤波器结构的表示方法MrNkrnxrbknykany01)()()()()(z-1+单位延迟乘常数相加z-1aa考虑如下二阶数字滤波器的信号流图：x(n)处称为输入节点或源节点，y(n)处称为输出节点或阱节点，其余节点称为网络节点。节点之间用有向支路连接，每个节点可以有几条输入支路和几条输出支路，节点值等于它所有输入支路的信号之和，而输入支路的信号值等于这一支路起点处的节点信号值乘以之路上的传输系数。延迟算子z-1表示单位延迟。2.数字滤波器结构的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b0源节点没有输入支路，阱节点没有输出支路。如果某节点有一个输入，一个或多个输出，该节点称为分支节点。如果某节点有两个或两个以上的输入，该节点称为相加器。各节点值为：对分支节点2有，故)2()1()()()()()2()1()()()()2()1()()1()1()()()(210501214231534232nyanyanxbnwnxbnwnyanyanwanwanwnynwnwnynwnwnynw2.数字滤波器结构的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b0)()()(12nwnwny)2()1()()(210nyanyanxbnyIIR滤波器的特点：单位冲激响应h(n)是无限长的；系统函数在有限Z平面上（0|z|∞）有极点存在；结构上存在着输出到输入的反馈。3.IIR滤波器的结构数字滤波器可用差分方程来描述：也可以用系统函数来表示：3.IIR滤波器的结构MrNkrnxrbknykany01)()()()()()()()(11)()(1)()(211010zHzHzkazrbzkazrbzHNkkMrrNkkMrrMrrzrbzH01)()(NkkzkazH12)(11)(表示为两个系统级联的形式：称为直接Ⅰ型结构。3.IIR滤波器的结构H1(z)H2(z)x(n)y(n)y′(n)MrrzrbzH01)()(NkkzkazH12)(11)(z-1-aN-1b1x(n)y′(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)直接Ⅰ型的变型：3.IIR滤波器的结构H2(z)H1(z)x(n)y(n)y′(n)MrrzrbzH01)()(NkkzkazH12)(11)(z-1-aN-1b1x(n)y′(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)直接Ⅱ型结构（典范型）:3.IIR滤波器的结构H2(z)H1(z)x(n)y(n)y′(n)-aN-1b1x(n)y′(n)b0b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)MrrzrbzH01)()(NkkzkazH12)(11)(习题：已知数字滤波器的系统函数画出该滤波器的直接型结构。解答：如右图所示。直接型结构的特点:所需要的延迟单元最少；系统调整不方便；受有限字长影响较大。3.IIR滤波器的结构3213212)8/1()4/3()4/5(121148)(zzzzzzzH-4x(n)z-1z-1y(n)z-1811-25/4-3/41/8对系统函数H(z)进行因式分解：式中M=M1+2M2,N=N1+2N2。级联型结构图：3.IIR滤波器的结构)1()1()1()1()1)(1()1)(1()1()1()(1)()(221112211111111*111*1111111022112211zzzzzczpAzdzdzqzqzczpAzkazrbzHkkNkkkMkkNkkMkkkNkkkMkkNkkMkNkkMrrxk(n)z-1z-1yk(n)β1kβ2kα2kα1k……习题：已知数字滤波器的系统函数画出该滤波器的级联型结构。解答：级联型结构的特点:所用存储单元较少；系数调整方便，便于准确实现系统的零极点；受有限字长影响较大。3.IIR滤波器的结构)8.02.11)(9.05.01()4.11)(8.01(3)(21212112zzzzzzzzHz-1z-1y(n)-1.4-0.81.2x(n)z-1z-1-0.8-0.90.53对系统函数H(z)进行因式分解：上式中N=N1+2N2。当MN时，公式中不包含最后一项。当M=N时，最后一项变成G0。一般IIR系统皆满足MN的条件。当M=N时，有式中[(N+1)/2]表示(N+1)/2的整数部分。当N为奇数时，包含一个一阶分式，即有α2k=β2k=0。此即IIR滤波器的并联结构。NMkkkNkkkkkNkkkNkkMrrzGzdzdzgBzcAzkazrbzH011*11111021)1)(1()1(1)(1)()(3.IIR滤波器的结构211221112101)(NkkkkkzzzGzH习题：已知数字滤波器的系统函数画出该滤波器的并联型结构。解答：3.IIR滤波器的结构211125.01201625.01816)(zzzzzHx(n)z-1-0.50.2516z-1z-18y(n)-1620FIR滤波器的特点：单位冲激响应h(n)是有限长的；系统函数在|z|0处收敛，极点全部在z=0处；结构上不存在输出到输入的反馈。4.FIR滤波器的结构数字滤波器可用一个差分方程来描述：对于FIR滤波器则有：直接型结构：MrNkrnxrbknykany01)()()()()(Mrrnxrbny0)()()(4.FIR滤波器的结构z-1z-1z-1x(n)b(0)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1)把FIR滤波器的系统函数用二阶因子乘积表示：级联型结构：)()()(221102/110zzznhzHkkkNkNnnx(n)z-1β01y(n)z-1z-1z-1z-1z-1β11β21β02β12β22β0[N/2]β1[N/2]β2[N/2]4.FIR滤波器的结构前已证明，当FIR系统的单位冲激响应满足时，该系统具有线性相位。类型Ⅰ滤波器：，且N为奇数。)1()(nNhnh)1()(nNhnh2/)1()2(1)1(2/)1(2/)3(0)1(2/)3(02/)1(2/)3(0)1(2/)3(02/)1(12/)1(2/)3(010)21()1(1)0()21()()()21()1()()21()()()()(NNNNNmmNNnnNNmmNNnnNNNnnNnnNnnzNhzzhzhzNhzmhznhzNhzmNhznhzNhznhznhznhzH4.FIR滤波器的结构令m=N-1-n类型Ⅰ滤波器的结构：2/)1()2(1)1()21()1(1)0()(NNNzNhzzhzhzHx(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h[(N-1)/2]h[(N-3)/2]z-1z-14.FIR滤波器的结构类型Ⅱ滤波器：，且N为偶数。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2))2(1)1()1(1)0()(NNzzhzhzHz-1z-1z-1h(N/2-1))1()(nNhnh4.FIR滤波器的结构类型Ⅲ滤波器：，且N为奇数。)2(1)1()1(1)0()(NNzzhzhzHx(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1-z-1h(0)h(1)h(2)h[(N-3)/2]z-1z-1)1()(nNhnh4.FIR滤波器的结构类型Ⅳ滤波器：，且N为偶数。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)(1)1(2)()(0)1(1)NNHzhzhzzz-1z-1-z-1h(N/2-1))1()(nNhnh4.FIR滤波器的结构给定一个FIR系统的单位冲激响应为h(n),n=0,1,…,N-1,其系统函数和h(n)的DFT分别为：显然，H(k)实际上是H(z)在单位圆上的N个值，即H(k)是H(jω)在频域的抽样。因此，我们可以用H(k)来表示H(z)，即:4.FIR滤波器的结构10)()(NnnznhzH10)()(NnnkNWnhkH)()(11)(1111)(1)()(1)(1)(21101101101011010zHzHNzWkHzNzWzkHNzWkHNzWkHNzHNkkNnNkkNnNkNnnkNNnnNknkNH(z)可看做是两个子系统级联。一个是FIR子系统H1(z)，一个是IIR子系统H2(z)。FIR子系统由N个延时单元组成，系统函数为H1(z)，该系统在单位圆上有N个等分的零点：频率响应：4.FIR滤波器的结构nzzH1)(11,,2,1,012NkWezkNkNjkk12/2()11cos()sin()2sin(/2)2sin(/2)cos(/2)2sin(/2)cos(/2)sin(/2)2sin(/2)jNjNHjeNjNNjNNjNNjNjNe)2/sin(2)(1NjH2π/Nω0“梳状滤波器”IIR子系统由N个一阶系统并联组成，系统函数为该系统有N个极点：IIR系统与FIR系统级联后，N个IIR系统在单位圆上的极点正好和FIR系统在单位圆上的零点相互抵消，所以整个系统是FIR系统，称为FIR系统的频率抽样型结构。4.FIR滤波器的结构10121)()(NkkNzWkHzH1,,2,1,0NkWpkNk4.FIR滤波器的结构10121)()(NkkNzWkHzHnzzH1)(1x(n)z-1y(n)