学研教育—2016年浙江专升本高数不等式的方法与技巧

学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧1不等式不等式是高等数学中的一个重要工具。运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。一、几个重要的不等式1．平均值不等式设12,,,naaa非负，令111()(0)nrrrkkMaarn（当r0且至少有一0ka时，令()0rMa），111()()nkkAaMaan，112()()111nnHaMaaaa，11()nnkkGaa，称rM是r次幂平均值，A是算数平均值，H是调和平均值，G是几何平均值，则有()()()HaGaAa，等式成立的充要条件是12,naaa；一般的，如果s0，t0，则有()()()tsMaGaMa，等式成立的充要条件是12,naaa。2．赫尔德（Holder）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,jijaainjm，且11mjja，则1111111()()()()mmnnnaaaammiiiiiiiaaaa，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,miinnmkkiiaainaa。3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式设,,1,2,,iiabin为实数，则112222111||nnniiiiiiiabab。4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧2设()0,1,2,,,1,2,,,1jiainjmr，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnmrrmrrrriiiiiiiaaaa，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rmriinnrmrkkiiaainaa。5．贝努里（Bernoulli）不等式设x-1，那么当0a1时，有(1)1axax，当a0或a1时，有(1)1axax，等式成立的充要条件是x=0。6．有关e的不等式（1）111(1)(1)nnenn，（2）11()!()nnnnneee，（3）1111(1)(1)(1)(1)212nnnennnn二、证明不等式的方法1．利用求导法证明不等式（1）利用单调性例.求证当(0,)2x时，2sinxxx。证明：令sin,0,()1,0xxfxxx，则f在[0,]2上连续，且'2cossin(),(0,)2xxxfxxx，令()cossinhxxxx，则当(0,)2x时，'()sincoscos0hxxxxx，因此h在[0,]2上严格递减，又因为h(0)=0，故对任意(0,)2x，有h(x)0，由此即知对任意(0,)2x，有'()0fx，故f在[0,]2上严格递减，故对任意(0,)2x，有()()(0)2ffxf，即2sinxxx，证毕。（2）利用最值学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧3例.设,0,,1abpq，且111pq，则11pqababpq，且等式成立当且仅当a=b。证明：令(),,01afxxaxxax，则'1()afxaxa，由此即知，'(1)0f，当0x1时，'()0fx，当x1时，'()0fx，因此(0,)max()(1)1xfxfa，故当x0时，1axaxa（*），且等式成立当且仅当x=1。令1,axabp，代入(*)式即可得11pqababpq，且等式成立当且仅当x=1,即a=b。证毕。（3）利用中值定理例.设f在[0，c]上可导，且导函数'f单调下降，又f(0)=0，试证当0ababc时，有()()()fabfafb。证明：由中值定理知：'1()()()fabfbfa，其中1(,)aab；'2()(0)()faffa，其中2(0,)a，由'f单调下降知：12()()ff，再由a0知()()()(0)fabfbfaf，即()()()fabfafb。证毕。例.若函数f(x)是[0，1]上的二阶导函数连续的函数，f(0)=f(1)=0，且()0,(0,1)fxx，证明：''10()4()fxdxfx。证明：由题意知f(x)在(0,1)上同号，不妨设f(x)0，又因为f(0)=f(1)=0，由连续函数性质知00[0,1](0,1),()max()0xfxfx使得，在00[0,][,1]xx和上分别用拉格朗日中值定理，00[0,],[,1]cxdx，使得学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧4''0000()()(),()1fxfxfcfdxx，从而有''11''''0000''000()11|()||()|()()()|()()|14()(1)dcfxdxfxdxfxdxfxfxfxfdfcfxxx，证毕。（4）利用凸函数例.设,0,,1abpq，且111pq，则11pqababpq。证明：由于lnx是上凸函数，故1111ln()lnlnlnpqabababpqpq，故11pqababpq。证毕。（5）利用Taylor公式（级数）来证明例.设''()0fx，u(t)是任意的连续函数，求证：当a0时，有0011(())(())aafuttdtfutdtaa。证明：因为'''2'0000000()()()()()()()()()2ffxfxfxxxxxfxfxxx,取x=u(t)，001()axutdta，则有'000(())()()(())futfxfxutx，所以'00000001(())()()(())()aaafuttdtfxdxfxutxdtafxa。证毕。（6）利用已知的不等式例.设f连续可微，f(1)-f(0)=1，求证1'20[()]1fxdx。证明：11111''2220001(1)(0)()([()])(1)fffxdxfxdxdx,由此即得1'20[()]1fxdx。证毕。2．利用积分证明不等式（1）利用分部积分和换元积分法估计积分值学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧5例.证明220sin0xdx证明：将原式记为I，则2222200020000sinsinsin2sinsinsinsinyt)222211()sin22yxyIxdxydydyyyyytdydydydtyyytydyyt（令因为在[0,]上，sin0y，又11022yt，所以11()sin022yyt，但是11()sin22yyt不恒等于0，故011()sin22ydyyt0，证毕。（2）构造积分进行证明例.若函数f(x)是[0，1]上的二阶导函数连续的函数，且''()0,()()0fxfafb，证明：00[0,1],|()|4xfx使得。证明：反证法：若对[0,1],x均有|f(x)|4，则对[0,1],有110011002221()()|||()|4||4(()())(1)14()2(221)1222xfxdxxfxdxxdxxdxxdx（取），矛盾，故假设不成立。（3）利用积分的单调性例.证明不等式2226229sin3xdxx。证明：令2(),[,]sin62xfxxx，学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧6则'2sincos()2,[,]sin62xxxfxxx，令()sincos,[,]62gxxxxx，则'()sin0,[,]62gxxxx，故g在[,]62上严格上升，因此对任意的[,]62x，有()()06gxg，由此即知，对任意的[,]62x，有'()0fx，故f在[,]62上严格上升，因此对任意的[,]62x，有()()()62ffxf，即23sinxx，因此2222266622293sin3xdxdxdxx。证毕。例.设函数f(x)在[0，1]上可导，且当[0,1]x时，有'0()1,(0)0fxf，证明：112300(())()fxdxfxdx证明：方法一、只需证明2300(())()ttfxdxfxdx。令2300()(())()ttFtfxdxfxdx，则'3200()2(())()()()(2()())ttFtfxdxftftftfxdxft，因为'0()1,(0)0fxf，所以f(x)严格单调上升，且f(x)f(0)=0，令20()2()(),[0,1]tGtfxdxftt，则'''()2()2()()2()(1())0Gtftftftftft，所以G(t)是严格单调上升的，又G(0)=0，故()(0)0,(0,1)GtGt，所以'()0Ft，F(t)严格单调上升，所以F(1)F(0)=0，即112300(())()fxdxfxdx。证毕。方法二、因为'0()1,(0)0fxf，所以f严格单调上升，从而对任意的1x0,有f(x)0,令2300()(()),()()xxFxftdtGtftdt，学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧7由柯西中值定理，有1200013230'(())2()()2()(1)(0)(1)(0)()()()2()1,01,02()()fxdxftdtfftdtFFGGfffxdxfff即112300(())()fxdxfxdx。证毕。3．利用配方法证明不等式要证ab，若a-b能表示成完全平方，或者a-b能表示成有限个完全平方的和，则ab例.求证222111nnniiiiiiixyxy，等式成立的充要条件是11::nnxyxy。证明：22211122221111112211111111221(()2()()2nnniiiiiiinnnnnnkiikkkjjkiikkjnnnnnkjkkjjjkkjkjkjxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy2111()02nnnkjjkkjxyxy且等式成立的充要条件是kjjkxyxy，即::kkjjxyxy。证毕。4．利用数学归纳法证明不等式例.设1212,,,,0,1,2,,ninaaaSbinbbb，试证11minmaxnnaaSSbb。证明：利用如下命题：设acbd，且b,d为正数，则aaccbbdd来证明。当n=1时显然成立。设当n=k时成立，那么当n=k+1时，令1212min,,,kkaaaabbb，1212max,,,kkaaabbbb，1kiiAa，1kiiBb，则由归纳假设知学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧8AabB，于是由命题知11111111111111min{,}min{,}min{,,,}kkkkkkkkkkkkkkaaaAaaaAabbbBbBbbaaabbb同样可证11