2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学试题

-1-2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学一、选择题（共9小题）1．若集合2|1Axx，{|02}Bxx，则AB（）A．{|01}xxB．{|10}xxC．{|12}xxD．{|12}xx2．设xR，则“|1|1x”是“220xx”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数()sin3cos()fxxxxR，则下列结论中错误的是（）A．()fx的一个周期为2B．()fx的最大值为2C．()fx在区间2,63上单调递减D．3fx的一个零点为6x4．函数21()log92fxx的单调递增区间是（）A．(0,)B．(,0)C．(3,)D．(,3)5．已知等差数列na的公差0d，前n项和为nS，若348,,aaa成等比数列，则（）A．10ad，40dSB．10ad，40dSC．10ad，40dSD．10ad，40dS6．已知离心率为53的双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别是12,FF，若点P是抛物线212yx的准线与C的渐近线的一个交点，且满足12PFPF，则双曲线的方程是（）A．221169xyB．22134xyC．221916xyD．22143xy7．已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x…时，2()4fxxx，则不等式(2)5fx的解集为-2-（）A．(3,7)B．(4,5)C．(7,3)D．(2,6)8．函数21,(0)()(1),(0)xxfxfxx„，若方程()fxxa恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．(,0)B．[0,1)C．(,1)D．[0,)9．已知函数()yfx的定义域为(,)，且函数(2)yfx的图象关于直线2x对称，当(0,)x时，()lnsin2fxxfx（其中()fx是()fx的导函数），若log3af，1log3bfg，13cf，则,,abc的大小关系是（）A．bacB．abcC．cbaD．bca二、填空题（共6小题）10．i是虚数单位，若21aii是纯虚数，则实数a的值为______．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_____．12．在621xx的展开式中，含3x项的系数为_______．（用数字填写答案）13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．14．已知0x，0y，且211xy，若222xymm…恒成立，则实数m的取值范围_____．15．已知菱形ABCD的边长为2，60ABC，点,EF分别在边,ADDC上，12BE，()BABD，13DFDC，则BEBF______．三、解答题（共5小题）16．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，4a，3c，1cos4A．（Ⅰ）求b的值；-3-（Ⅱ）求sin26B的值．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，//PDQA，2PDA，平面ADPQ平面ABCD，且22ADPDQA．（Ⅰ）求证：//QB平面PDC；（Ⅱ）求二面角CPBQ的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB成角的余弦值为7315，求线段DH的长．18．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12e，12,FF分别为左右焦点，1B为短轴的一个端点，112BFF的面积为3（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若,,,ABCD是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点1F，且0ACBD，求||||ACBD的取值范围．19．已知等比数列na的各项均为正数，5462,,4aaa成等差数列，且满足2434aa，数列nb的前n项和(1)2nnnSb，*nN，且11b．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设,,nnnbncan为奇数为偶数，求数列nc的前n项和nP．-4-（3）设252123nnnnnbdabb，*nN，nd的前n项和nT，求证：13nT．20．设函数()2ln()fxaxxaR．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当1a时，试判断()fx零点的个数；（Ⅲ）当1a时，若对(1,)x，都有(41ln)()10()kxxfxkZ成立，求k的最大值．-5-参考答案一、选择题（共9个小题）1．选：A．3．选：D．4．选：D．5．选：B．6．选：C．7．选：C．8．选：C．9．选：D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）10．答案为：﹣2．11．答案为：108石．12．答案为：20．13．答案为：2．14．答案为：4,2．15．答案为：223．三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）16．解：（Ⅰ）在ABC中，由余弦定理得：2222cosabcbcA，又4a，3c，1cos4A，223140bb，解得2b；（Ⅱ）由1cos4A，所以15sin4A，由正弦定理得：-6-sinsinabAB，得15sin8B，又02B，所以7cos8B，所以715sin22sincos32BBB，217cos22cos132BB，所以371517117215sin2623232264B，故答案为：1721564．17．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD是正方形，//ABCD，四边形ADPQ是梯形，//PDQA，ABQAA，CDPDD，平面//ABP平面DCP，QB平面ABQ，//QB平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,0)C，(0,0,2)P，(2,2,0)B，(2,0,1)Q，(2,2,2)PB，(0,2,2)PC，(2,0,1)PQ，设平面PBC的法向量(,,)nxyz，则2220220nPBxyznPCyz，取1y，得(0,1,1)n，设平面PBQ的法向量(,,)xyz，则222020mPBxyzmPQxz，取1x，得(1,1,2)，设二面角CPBQ的大小为，由图形得为钝角，-7-则||33cos2||||26mnmn，56，二面角CPBQ的大小为56．（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7315，设DHt，则(0,0,)Ht，(2,0,0)A，(2,0,)AHt，(2,2,2)PB，2||4273|cos,|15||||412AHPBtAHPBAHPBt，解得32t，线段DH的长为32．18．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率22112cbeaa，则2ac，3bc，112BFF的面积的面积1232Scb，则3bc，解得：2a，3b，1c，椭圆的标准方程：22143xy；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：(1,0)F，由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0，设直线:(1)ACykx，且3k，11,Axy，22,Cxy，-8-22(1)143ykxxy，整理得：22223484120kxkxk，21228k34kxx，212241234kxxk，则22212122121||1434kACkxxxxk，将1k代入上式可得22121||43kBDk，则222||34371||434443ACkBDkk，23k，由20k，则233714444433k，23k||||ACBD的取值范围313134,,415153．19．解：（1）等比数列na的各项均为正数，设公比为q，0q，由5462,,4aaa成等差数列，可得456224aaa，即24442aaqaq，即2210qq，解得12q（1舍去），由2434aa，可得232114aqaq，即2111184aa，解得112a，则1111222nnan；数列nb的前n项和(1)2nnnSb，*nN，且11b，可得2n…时，112nnnSb，又(1)2nnnSb，两式相减可得1122nnnnnbbb，化为11nnbnbn，则231121231121nnnbbbnbbnbbbn，上式对1n也成立，则nbn，*nN；-9-（2）,,1,2,nnnnnnnbncan为奇数为奇数数为偶数为偶，当n为偶数时，前n项和1111(1351)(11)41622nnPnn2111114211243214nnnn；当n为奇数时，211(1)111432nnnnPPnn；（3）证明：251212325112(21)(23)22(21)2(23)nnnnnnnnbndabbnnnn，则前n项和11111112234545872(21)2(23)nnnTnn111112262(23)63nn，即有13nT．20．解：（Ⅰ）1()fxax，(0)x．0a„时，()0fx，函数()fx在(0,)上单调递增．0a时，1()axafxx，(0)x．则()fx在10,a上单调递减，在1,a上单调递增．（Ⅱ）1a时，()2ln(0)fxxxx．1()xfxx，(0)x．则()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增．1x时，函数()fx取得极小值即最小值，(1)1f．0x时，()fx；x时，()fx．-10-函数()fx存在两个零点．（Ⅲ）当1a时，对(1,)x，都有(41ln)()10()kxxfxkZ成立，化为：134ln()nxkxgxx，2211(13)12()nxxnxgxxxx．令()ln2uxxx，(1,)x，1()10uxx，函数()ux在(1,)x调递增，(3)1ln3u，(4)22ln2u，存在唯一的0(3,4)x，使得00ux，即00ln20xx，函数()gx在01,x内单调递减，在0,x单调递增．00min0000000ln3231713()ln21,34xxgxgxxxxxxx，00141minkxx，k．k的最大值为0．