必做题-2

13微电子1仓祥最佳广告费用及其效应1：问题提出某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。（为方便计算利润，故统一单位/万元，原来的千桶换成万桶，广告费换成万元）表一：售价与预期销售量售价/元x22.533.544.555.56预销量/万桶y4.13.83.43.22.92.82.52.22.0表二：广告费与销售增长因子广告费/万元m01234567增长因子k11.41.71.851.9521.951.82：问题分析利润=（售价－进价）×销售量×销售增长因子－广告费，因此可由maltab对数据进行拟合，从而得到预销量与售价，增长因子与广告费的函数关系式。再将以上得到的代入利润表达式，将问题进一步简化为最优化模型。因此做以下的必要假设。3：模型假设1：假设预销量与售价连续变化；2：假设增长因子与广告费连续变化；3：假设进货全部卖完；4：模型建立1：预销量y与售价x的函数关系通过maltab对表一数据进行拟合得到y与x的函数关系式为04222.55133.0xy程序源代码如下：x=[2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6]y=[4.1,3.8,3.4,3.2,2.9,2.8,2.5,2.2,2.0]a=polyfit(x,y,1)xx=0:0.1:6;yy=polyval(a,xx);plot(x,y,'r*',xx,yy,'b')运行结果如下：x=Columns1through62.00002.50003.00003.50004.00004.5000Columns7through95.00005.50006.0000y=Columns1through64.10003.80003.40003.20002.90002.8000Columns7through92.50002.20002.0000a=-0.51335.0422数据拟合图像如下：由图像可知，数据拟合的很接近。2：增长因子k与广告费m的函数关系式通过maltab对表一数据进行拟合得到k与m的函数关系式为0188.14092.00426.02mmk程序源代码如下：m=[0,1,2,3,4,5,6,7]k=[1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8]a=polyfit(m,k,2)mm=0:0.1:7;kk=polyval(a,mm);plot(m,k,'r*',mm,kk,'b')运行结果如下：m=01234567k=Columns1through61.00001.40001.70001.85001.95002.0000Columns7through81.95001.8000a=-0.04260.40921.0188数据拟合图像如下：由图像可知，数据拟合的很接近。3：利润函数关系式：由以上y，k可得利润mkyXW)2(其中04222.55133.0xy0188.14092.00426.02mmk5：模型求解通过以上分析，可由lingo软件或maltab求解最大利润值1：lingo求解程序代码如下：max=(x-2)*(-0.5133*x+5.04222)*(-0.0426*m^2+0.4092*m+1.0188)-m;x=2;x=6;m=1;m=7;运行结果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:11.66324Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:43VariableValueReducedCostX5.9115720.000000M3.3083500.000000RowSlackorSurplusDualPrice111.663241.00000023.9115720.00000030.8842782E-010.00000042.3083500.00000053.6916500.0000002：用maltab画出利润的三维图像并读出最高点坐标程序代码如下：clearx=2:0.01:6;m=1:0.01:7;[X,M]=meshgrid(x,m);y=(X-2).*(-0.5133*X+5.04222).*(-0.0426*M.^2+0.4092*M+1.0188)-M;mesh(X,M,y)[v,p]=max(y);[maxV1,p1]=max(v);disp('最大值=')disp(maxV1)xx=x(p1);%x值disp('x=')disp(xx)[maxV2,p2]=max(y(:,p1));mm=m(p2);%m值disp('m=')disp(mm)运行结果如下：最大值=11.6632x=5.9100m=3.3100函数图像如下：由以上数据分析可知lingo和maltab得出的结果一致故：当售价为5.91元，广告费为3.31万元时取得最大利润，此时最大利润为11.6632万元。