集合-基础知识点汇总与练习-复习版

集合知识点总结一、集合的概念教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．：（一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有21n，非空子集有21n个，非空真子集有22n个．二、集合的运算教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．（一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2．ABAAB，ABAAB；3．()UUUCACBCAB，()UUUCACBCAB．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．考点要点总结与归纳一、集合有关概念1.集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。2.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。3.集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合4.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。5.集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，图示法。（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I|p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。6.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝常用数集及其记法：（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R二、集合间的基本关系7.子集的概念：A中的任何一个元素都属于B。记作：AB①任何一个集合是它本身的子集。AA②如果AB,BC,那么AC8.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。9.相等集合：如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。如：AB且BA则A=B10.真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B真子集。记作：AB11.集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分、（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”12.若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有21n，非空子集有21n个，非空真子集有22n个．三、集合的运算1、交集：B}xAx|{xBA且2、并集：}|{BxAxxBA或3、补集：A}xx|{xACU且U运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作“A交B”），即AB=｛x|xA，且xB｝．核心词汇：共有由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．核心词汇：全部设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx且韦恩图示AB图1AB图2性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．SASA★经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合①1,2,1,2AB--------------不是，一个是点集，一个是数集②|05,|05AxNxBxRx-------------不是，元素范围不同③|21,,|21AyyxBxyyx-不是，一个是点集，一个是数集④|5,|5AxxByy------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关例二、用适当的符号填空：a；a,ab；aa；a；1,2,31,2,3,4；应该注意的问题：集合与元素之间是属于关系，集合与集合之间的是包含关系，两者不能混淆。例三、已知集合0,1,2,4,5,7,1,4,6,8,9,4,7,9MNP，则MNMP等于【1,4,7】解：1,4,4,7MNMP，故1,4,7MNMP例四、若集合21,3,,,1AxBx，且BA，则x【0或3】解：依题BA，则2xx，或23x，解出0,1,3x；由于元素具有互异性，故舍去1。例五、集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为【4】解：∵0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB∴2164aa∴4a例六、设集合1(,)1,,1yUxyyxAxyx，则UCA【0,1】解：1,1yAxyx表示平面上满足直线11yx的无数点，其中0,1xy。又(,)1Uxyyx表示平面上满足直线1yx上的全部点，故补集为0,1，这组有序数对。例七、已知集合14,AxxBxxa，若AB，则实数a的取值集合为【4aa】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由xa确定，应往左画（若为xa，则往右画），进而开始实验；③得到初步试验结果；④验证端点。试验得到：4a，当4a时，由于A集合也不含有4，故满足AB。综上所述，4aa。例八、设集合{|32}MmmZ，{|13}NnnZ≤≤，则MN【101，，】解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，故2,1,0,1,1,0,1,2,3MN，因此取交集后，得到的结果应为101，，。例九、|13Axx，|Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是【3a】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由xa确定，应往左画（若为xa，则往右画），进而开始实验；③得到初步试验结果；④验证端点。试验得到的结果为3a，验证端点，当3a时，由于A集合不含有3，满足交集为。综上所述，a的取值范围是3a。注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！例十、满足11,2,3M的集合M为【1,1,2,1,3】解：因为1M，因此M中必须含有1这个元素。又知道1,2,3M故得到1,1,2,1,3。（1,2,3不满足真子集的要求）例十一、已知集合2220,0AxxpxBxxxq，且2,0,1AB，求实数,pq的值。【0,1qp】解：观察A集合，可知0A，又有2,0,1AB，则0B。将0代入20xxq，得到0q，反解20xx，得到0x或1。由于2,0,1AB，0,1B，则2A。将2代入220xpx，解得1p。例十二、已知集合222,120ABxxaxa，若ABB，求实数a的取值范围。【4a或4a】解：①当B时，方程22120xaxa无解，0，解得4a或4a；②当B时，方程22120xaxa有一个解，0，同时将2代入22120xaxa，解得4a；综上所述a的取值范围为4a或4a。练习题1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个。1．已知集合tM,3,1，12ttP，若MPM，则t=_____________．2．设集合M=,24kxxkZ，N=,42kxxkZ,A.M=NB.MNC.NMD.MN=3．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）（A）（B）（C）（D）4．设全集，若，，，则下列结论正确的是（）（A）且（B）且（C）且（D）且5．设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，则(A*B)*A等于（）A．AB．BC．()UCAB∩D．()UACB∪6．已知集合nxnxNmxmxM43|,31|，且NM,都是集合10|xx的子集，如果把ab叫做集合bxax|的“长度”，那么NM的“长度”的最小值是____________________．7．已知集合52|xxA，121|mxmxB，且BA，求实数m的取值范围．8．已知集合2{263}Axkxk，{}Bxkxk且A是B的真子集，求实数k的取值范围。9．集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝，若A∩B，A∩C＝，求a的值．10．设集合42|xxA，集合023|22aaxxxB．（1）求使BBA的实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使BA成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．高一数学第一章集合数学测试题一、选择题（每小题5分，计5×12=60分）1．下列集合中，结果是空集的为（）（A）（B）（C）（D）2．设集合，，则（）（A）（B）（C）（D）3．下列表示①②③④中,正确的个数为()（A）1（B）2（C）3（D）44．满足的集合的个数为（）（A）6（B）7（C）8（D）95．若集合、、，满足，，则