数学模型姜启源课件

数学模型主讲|敬成林数学模型《数学模型》姜启源主编课程名称学时36数学模型与数学建模MathematicalModeling学分3课程类别专业选修课先修课程微积分、线性代数、概率论与数理统计课程简介本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合，网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。教材及参考书目《数学模型》，姜启源主编，高等教育出版社课程简介数学模型《数学模型》姜启源主编数学模型《数学模型》姜启源主编第一章建立数学模型第二章初等模型第三章简单的优化模型第四章数学规划模型第五章微分方程模型第六章稳定性模型第七章差分方程模型第八章离散模型第九章概率模型第十章统计回归模型附录:数学建模实验周次节次教学内容课时作业执行情况1五5－61.1-1.5数学模型的介绍1.6数学模型的基本方法步骤、特点和分类22五5－62.1公平的席位分配(讨论课)2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃的功效23五5－62.7实物交换3.2生猪的出售时机24五5－63.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五5－63.6消费者的选择4.3汽车生产与原油采购26五5－64.5饮料厂的生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五5－65.2经济增长模型5.6人口的预测和控制28五5－66.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛(讨论课)2教学进度数学模型《数学模型》姜启源主编9五5－66.4种群的相互依存7.1市场经济中的蛛网模型210五5－67.2减肥计划-节食与运动8.3层次分析模型212五5－68.4效益的合理分配9.2报童的诀窍(讨论课)213五5－69.5随机人口模型9.6航空公司的预定票策略214五5－610.1牙膏的销售量2评估周15五5－6Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五5－6数学建模实验(上机)217五5－6数学建模实验(上机)218考试数学模型《数学模型》姜启源主编数学模型《数学模型》姜启源主编第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1从现实对象到数学模型我们常见的模型第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（船速、水速为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；•求解得到数学解答（x=20,y=5）；•回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编1.2数学建模的重要意义•电子计算机的出现及飞速发展；•数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。•在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；•在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；•数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编数学建模的具体应用•分析与设计•预报与决策•控制与优化•规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;•地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()–g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3如何预报人口的增长第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式kkrxx)1(0x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数trtxtxttx)()()(今年人口x0,年增长率rk年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编指数增长模型的应用及局限性•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合•适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代•可用于短期人口增长预测•不符合19世纪后多数地区人口增长规律•不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设)0,()(srsxrxrr~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是x的减函数mxrs0)(mxr第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编rxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0xmxm/2xmxtxxxemmrt()()110tx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm•利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为281.4(百万)5.274)2000(x模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编数学建模的基本方法•机理分析•测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。•二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4数学建模的方法和步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编1.5数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性数学模型的特点第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力•学习、分析、评价、改进别人作过的模型•亲自动手，认真作几个实际题目第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.7实物交换数学模型《数学模型》姜启