随机变量及其函数概率分布

第二章随机变量及其函数的概率分布§2.1随机变量与分布函数§2.2离散型随机变量及其概率分布.三、计算下列各题1.袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。解X的可能取值为5，6，7，8，9，10且10,9,8,7,6,5,)(51041kCCkXPk所以X的分布列为X5678910P25212525845365185212.一批元件的正品率为43，次品率为41，现对这批元件进行有放回的测试，设第X次首次测到正品，试求X的分布列。解X的取值为1，2，3，…且,3,2,1,434341)(k1kkXPk.此即为X的分布列。3.袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。解X的分布列为X123P612131由分布函数的计算公式得X的分布函数为3,132,3221,611,0)(xxxxxF4.设随机变量X的分布律为5,4,3,2,115)(kkkXP。1/8求).3()3(),31()2(),2521()1(XPxPXP解,51152151)2()1()2521()1(XPXPXP.53155154)5()4()3()3(,52153152151)3()2()1()31()2(XPXPXPXPXPXPxP5.（1）设随机变量X的分布律为0;,2,1!)(kkakXPk为常数，试确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且)(NYP与2N成反比，求Y的分布律。解（1）因为1,1)(kkXP及0,1!1ekkk，所以.11ea（2）令;,2,1N)(2NkaNYP类似上题可得26k。所以Y的分布律为,2,1,6)(22NNNYP6.汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布解X=0,1,2,3,iA=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3.)()0(1APXP=21,)1(XP=4121221）（AAP)2(XP81213321）（AAAP，)3(XP=81213321）（AAAP为所求概率分布7.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,试求抛掷次数X的概率分布律.,2,1,3611)36111()()(,,2,1,3611)(,61121kAAAAPkXPXiAPiAkkkii的概率分布为所以点次出现第设解四、证明题，是两个常数，且都是分布函数，又和设1,0,0)()(21babaxFxF试证明：X0123P1/21/41/81/82/8.)()()(21也是分布函数xbFxaFxF1112220)1,0)10))1;0)1,0)FxaFxaaFxbFxabFxbFxb（（解（）因为（（（（111212212211121221221212))(2),))()))))(),().3lim()lim))lim)lim)1xxxxaFxaFxxxbFxbFxFxaFxbFxaFxbFxFxFxFxaFxbFxaFxbFxab（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（1212lim()lim))lim)lim)000xxxxFxaFxbFxaFxbFxab（（（（.)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于xFxFxFxbFxaFxbFxaFxF§2.3连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1.设连续型随机变量X的密度函数为其它,021,210,)(xxxxxf；求X的分布函数。解xdxxfxF)()(，2,121,12210,20,0)(22xxxxxxxxF2.设随机变量X的分布函数为0,00,)1(1)(xxexxFx；求XXP)2();1()1(的密度函数。解;2)21(1)1()()1()1(11eeFFXP0,00,)()()2(xxxexFxfx3.设连续型随机变量X的密度函数为其它,010,4)(3xxxf；3/8（1）求常数a，使)()(aXPaXP；（2）求常数b，使05.0)(bXP。解（1）因为)()(aXPaXP，所以),()(1aXPaXP故440321,214)(aadxxaXPa所以。（2）因为,2019)(,05.0)(1,05.0)(4bbXPbXPbXP4419,0.950.987220bb所以即4.在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。解当Rx0时，设xOP，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此3333434)(RxRxVVxXPOROP，所以，X的分布函数为30,0(),01,xxFxxRRxRX的密度函数为RxxRxRxxFxf,0,00,3)()(325.设随机变量X的分布函数为xBAxFarctan)(,–∞x+∞,试求(1)系数A与B,(2)P(–1x1),(3)X的概率密度函数.解,12112021)(0)(1BABABAFF）（xxxFxfFFxP,)1(1)()()3(,21))1arctan(121()1arctan121()1()1()11()2(26.设随机变量X的概率密度为其它，）（,0102xxxf,以Y表示对X进行三次独立观察中{X≤21}出现的次数,求概率P(Y=2).解p=P(X≤21)=41221021xdxdxxf）（,由已知Y~B(3,41)所以64943412223）（）（CYP4/87.从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从)100,50(N；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从)16,60(N，问（1）要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？（2）要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？解（1）因为.9938.0)46070()70(,9772.0)105070()70(21XPXP所以走第二条。（2）类似的走第一条。§2.4随机变量函数的分布三、计算下列各题1.设随机变量X的分布律如下，求12XY的分布律。X-2-1012iP5161511513011解Y125iP5130730172.设随机变量X在)1,0(上服从均匀分布，求XZeYXln2)2(;)1(的密度函数。解X的密度函数为1,01()0,0,1xfxxx（1）设XeY，则有xXXYdttfxXPxePxYPxFln)()ln()()()(。所以)(ln1)(xfxxfXY，因此当1x及ex时，由0)(xfX知0)(xfY；当ex0时，由1)(xfX知xxfY1)(，所以所求密度函数为exxexxxfY,1,01,1)(（2）类似的可得：21,0()20,0xZexfxx5/83.设)1,0(~NX，求(1);(2)||XYeWX的密度函数。解（1）X的密度函数为)(21)(22xexfxX，XeY的分布函数为0,)()ln()()()(lnydttfyXPyePyYPyFyXXY0,0)(yyFY所以XeY的密度函数为0,00,1.21)(2)(2yyyeyfinyY（2）||XW的分布函数为)|(|)()(yXPyWPyFW0221)(02222ydtedteyXyPytyyt0,0)(yyFW所以||XW的密度函数为0,00,2)(22yyeyfyW4.设随机变量X的概率密度为其它,00,2)(2xxxf；求XYsin的概率密度。解01()()(sin)YyFyPYyPxy当时，arcsin2220arcsin(0arcsin)(arcsin)222arcsin,yyPXyPyXxxydxdx所以1,0,010,12)(2yyyyyfY5.若球的直径D的测量值在],[ba上均匀分布，求球的体积V的概率密度。6/8其它所以其它解,066,92166)(,66)61()(,61V,,0,1)(333231333333bvavabvvfvfvFvDPvDPvFDbdaabdfDVDVD6.将长度为2a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于22a的概率。2212222212222202)2(0)20()2(,,020,21)(]2,0[,2,222aaaaaaXaaaaXPaXaXPaYPXaXYaxaxfaXXaXaX面积其它上均匀分布在两部分的直线分成长为解四、证明题1.设的密度函数为试证若是取正值的随机变量，),,(~ln2XNXX.,0,00,)(ln21exp21)(22这称为对数正态分布xxxxxp证的密度为所以XxexeXNXYyY,0,,),,(~ln20,00,)(ln21exp210,00,1)(ln)(22xxxxxxxxfxpY2.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,证明xeY21在区间(0,1)服从均匀分布。证X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为0,0022xxexfxX，）（xeY21,,022xey函数y单调可导,其反函数为）（yx1ln21由公式其它）（））（（）（,010,1|1ln21(|1ln21yyyfyfXY7/8所以xeY21在区间(0,1)服从均匀分布。