高教版《数学建模与数学实验(第3版)》椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.3.对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f，B、D两脚与地面距离之和为g，显然f、0g，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知f、g至少有一个为0.当0时，不妨设0,0fg，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题已知f、g是的连续函数，对任意，f*g=0，且00,00fg，则存在0，使000fg.三、模型求解BBACAxCDD将椅子旋转90，对角线AC和BD互换，由00,00fg可知02,02fg.令fgh，则02,00hh，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在2000使00h，00fg，由000gf，所以000fg.四、评注模型巧妙在于用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.