高教版《数学建模与数学实验(第3版)》人口预报问题

数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1美国人口统计数据年（公元）人口（百万）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）人口（百万）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百万）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.[1]假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2]建立模型：记时刻t=0时人口数为x0,时刻t的人口为tx，由于量大，tx可视为连续、可微函数.t到tt时间内人口的增量为：trxttxttx于是tx满足微分方程：0dd0xrxtxx（1）[3]模型求解：解微分方程（1）得0ertxtx（2）表明：t时，tx（r0）.[4]模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790—1980的数据拟合得：r=0.307.[5]模型检验：将x0=3.9，r=0.307代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.表2美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年(公元)实际人口（百万）指数增长模型预测人口（百万）误差（%）17903.918005.318107.27.31.418209.610.04.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.8188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3.阻滞增长模型（logistic模型）[1]假设：（a）人口增长率r为人口tx的函数xr（减函数），最简单假定0,,srsxrxr（线性函数），r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量mx.[2]建立模型：当mxx时，增长率应为0，即mrx=0，于是mrsx，代入sxrxr得：m1xrxrx（3）将（3）式代入（1）得：模型：m010dxxrxdtxxx（4）[3]模型的求解：解方程组（4）得mm011rtxxtxex（5）根据方程（4）作出ddxxt曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4]模型的参数估计：利用表1中1790—1980的数据对r和mx拟合得：r=0.2072,mx=464.[5]模型检验：将r=0.2072,mx=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得Oxmx2mx错误!未定义书签。图1dxxdt曲线图xmx20x0xtO图2x-t曲线图)())(1()()()1(txxtxrtxxtxtxmt=0,1,2,…,(6)用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较年实际人口(百万)阻滞增长模型公式（5）公式（6）预测人口(百万)误差（%）预测人口(百万)误差（%）17903.918005.35.90250.11373.90000.264218107.27.26140.00856.50740.096218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.12320.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.96870.383143.53290.1328189062.938.09860.394356.18840.1067190076.046.86990.383370.14590.0770191092.057.66070.373384.73050.07901920106.570.93590.3339102.46260.03791930123.287.26740.2917118.95090.03451940131.7107.35880.1848137.88100.04691950150.7132.07590.1236148.79780.01261960179.3162.48350.0938170.27650.05031970204.0199.89190.0201201.17720.01381980226.5245.91270.0857227.57480.00471990251.4302.52880.2034250.44880.0038[6]模型应用：现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083,mx=457.6.用公式（6）作预测得：x(2000)=275;x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.