北大.群论.讲义.王宏利.第一章

—1—第一章抽象群基础§1.1群【定义1.1】G是一个非空集合，G=｛„，g，„｝，“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G及其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：f,gG,f·g=h,则hG;（2）结合律：f,g,hG，（f·g）·h＝f·(g·h);（3）有单位元：eG,fG,f·e＝e·f＝f;（4）有逆元素：fG，f-1G,使f·f-1=f-1·f=e;则称G为一个群，e为群G的单位元，f--1为f的逆元。·系1.e是唯一的。若e、e´皆为G的单位元，则e·e´=e´，e·e´=e，故e´=e。·系2.逆元是唯一的。若存在f的两个逆元f´=f，则f''f''ef''f)(f'f'')(ff'ef'f',即''ff'·系3e–1=ee–1=e-1·e=e,即：e–1=e。·系4若群G的运算还满足交换律，f，gG,有f·g=g·f,则称G为交换群，或阿贝尔群。群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。例1.1整数集{z}及其上的加法+单位元为0,逆元z-1=-z,构成整数加法群。例1.2实数集R，运算为加法：单位元e=0,逆元：aR，a–1=-a，构成加群。若运算为数乘，R不构成群，0-1不存在。不过不包含0的所有实数R/0，构成乘法群，单位元e=1，逆元：aR/0,a-1=a1—2—例1.3空间反演群{E，I}，元素为对向量的变换:rr,IrrE运算定义为群元对向量由右到左的相继作用：rrErEE，EEErIrrErEI)(，IEIrErrIrII)(EI2。乘法表如右：例1.4R3中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，两个转动操作的二元运算为两操作的相继转动。群元：)(nC,n为转轴，为转角，乘法：)()()(nnnCCC单位元：e=nC(０)逆元：)()(1nnCC例１.5平面正三角形对称群D3（六阶二面体群）o为重心，固定不动，保持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以相继操作为二元运算构成一个群。保持正三角形不变的对称操作：e:不转动；d:绕Z轴转120度；f:绕Z轴转240度；a:绕y轴转180度；b:绕2轴转180度；c:绕3轴转180度；D3＝{e,d,f,a,b,c}例1.6置换群Sn,又称n阶对称群群元：将（1，2„，n）映为自身的置换P：nmmmnp......2121，2121mm„置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如31244321=14233124yx321OCBAEIIIIEEE—3—单位元：nne...21...21P的逆元：3...21...211nmmmpn个数码所有可能的置换数为n！，其乘法：1423312424134321=23414321则所有置换及其乘法结构成一个群，记为Sn群。可见，群的元素可以是非常广泛的东西，可以是数、操作、变换等等，二元运算也可以有多种类型。群可以简单分类为：有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为|G|无限群：群元个数无限不可数可数◆定理1.1◆(重排定理)设GugG},{，有GGguguG}|{u的作用只是将G元素重排。证明：（一）u的作用是单射，（1对1），ug当g不同时给出G中不同群元：设gg，若ugug，（即多对一）两边左乘u-1,有gg，与假设矛盾故ugug（二）u的作用是一个满射，即G中任意群元都可写成ug的形式：Gg，)()(11guuguug，记ggu1即Gg，使ugg。—4—故u的作用是双射（一一映射），即GuG。类似有：uG,Gu=G在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。§1.2子群和陪集【定义1.2】设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，H也构成一个群，则称H为G的子群，记为GH。·系1.GH的充要条件为:（1）hh,H,有hhH（2）hH，其逆1hH例1.7任何群G，都有子群{e}和GG。{e}，G称为显然子群或平庸子群，非平庸的子群称为真子群。例1.8整数全体构成的加法群是全体实数构成的加法群的子群。例1.9D3群的子群{e，d，f}。【定义1.3】循环子群的形式为：Zn={eaaan2,}n为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。例1.10从n阶有限群G的任一元素出发，总可以生成一个G的循环子群。},,,{geG，gG作32,,ggg,„,存在k≤n,egk，则}...,,,{21egggk构成循环群kZ,且GZk。若egk，则称g的阶为k。D3群的循环子群:D3=｛e,d,f,a,b,c｝2阶循环子群：｛a,a2=e｝,｛b,b2=e｝,｛c,c2=e｝—5—3阶循环子群：｛d,d2(＝f),d3=e｝,｛f,f2(=d),f3=e｝【定义1.4】(左陪集和右陪集)设H是群G的子群，HG，gG.子群H的左陪集：}|{HhghgH右陪集：}|{HhhgHg当取不同的gG时，可以得到不同的陪集。◆定理1.2◆(陪集定理)设群H为群G的子群HG，则H的两个左（右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素,即：g1,g2G,则g1Hg2H=Ф，或g1H=g2H.证明：设左陪集g1H，g2H有一公共元素hghg21则有Hhhgg1112故HHhhHgg)()(1112（重排定理）故HgHggg21122))((，而HgHgggHggg111221122)())((故HgHg21证毕◆定理1.3◆（拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。证：G为n阶群，H为G的m阶子群，取g1G，g1H，作陪集g1H取g1G，g2H，g2g1H，作g2H取giG，giH，g1H，g2H，„，gi-1H等，作giH得陪集系列：H=｛h1，h2，„，hm｝＝eHg1H=｛g1h1，g1h2，„，g1hm｝，g1H，因H有单位元e。g2H=｛g2h1，g1h2，„，g1hm｝由陪集定理知，这样得到的陪集序列互不相同，没有任何公共元素。而这些陪—6—集序列最终将穷尽群G中的所有元素（或者说G的任何群元均属于某一陪集串）。设共有l个陪集，则群G的群元个数n为：lmn即子群的阶m为G群阶的因子。·系1有限群G可以分割为其子群的互不相交的陪集串（G可以其子群的陪集串展开）。例1.11D3={e,d,f,a,b,c}的子群陪集分割。D3的子群：H1=｛e,a｝，H2=｛e,b｝H3=｛e,c｝，H4=｛e,d,f｝H1左陪集分割：H1=｛e,a｝,bH1=｛b,f｝,cH1=｛c,d｝H4左陪集串：H4=｛e,d,f｝,aH4=｛a,b,c｝§1.3类与不变子群【定义1.5】设f,h是群G的两个元素，若有元素gG,使gfg-1=h，则称元素h与f共轭。记为h～f。·系1共轭是相互的，即若h～f，则f～h.·系2共轭的传递性，若f1～h，h～f2，则f1～f2.证：f1～h,故g1,使f1=g1hg1-1，故有h=g1-1f1g1f2～h,故g2,使f2=g2hg2-1=g2g1-1f1g1g2-1=(g2g1-1)f1(g2g1-1)-1故f1～f2【定义1.6】群G的所有相互共轭的元素集合，称为群G的一个类。·系1一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素f，则f所属类的所有元素均可求出：f类=},'|'{1Gggfgff·系2一个群的单位无e自成一类，gxG，gxegx-1=e，·系3阿贝尔群的每个元素自成一类，f，gxG，gxfgx-1=f—7—·系4若元素f的阶为m，即fm=e，则f类所有元素的阶都是m，因,Ggegfgfggfggfggmm1111...)(·系5两个不同的类没有公共元素，一个群可以按共轭类进行分割（名类中元素个数可能不同）。例1.12D3=｛e,d,f,a,b,c｝的类分割。D3的元素可分为3类：e类：｛e｝d类：｛d,f｝a类：｛a,b,c｝◆定理1.4◆有限群每类元素的个数等于群阶的因子。证明：设G为n阶有限群，g是G的一个元素，看g类元素的个数:作G的子群Hg：Hg=｛hG∣hgh-1=g｝（即内自同构群I(G)在g点的迷向子群）即Hg由所有与g对易的元素组成。下面证明：g1gg1-1=g2gg2-1g1,g2g2Hg（一）若g1gg1-1=g2gg2-1，g1,g2G，g1,g2Hg由g1gg1-1=g2gg2-1可得g2-1g1gg1-1g2=g即（g2-1g1）g(g2-1g1)-1=g故g2-1g1Hg由重排定理：g2-1g1Hg＝Hg有g1g2Hg,而g2g2Hg所以g1,g2g2Hg(g1Hg=g2Hg)(二)若g1,g2g2Hg,则存在hHg,使g1=g2h故g1gg1-1=g2hgh-1g2-1=g2gg2-1即g1gg1-1=g2gg2-1g1,g2g2Hg综上所述：用Hg的一个左陪集仅能得到g类的一个元素，g类中元素的个数等于Hg的左陪集个数。即：g类元素个数=Hg左（右）陪集串个数由拉格朗日定理，Hg的阶为G的阶的因子，故g类元素个数亦为群G阶的因子。【定义1.7】（共轭子群）设H和K是G的两个子群，HG，KG，若有gG，使K=gHg–1=｛k=ghg–1|hH｝则称H是K的共轭子群。—8—·系1共轭子群具有对称性（即相互性）和传递性；·系2群G的全部子群可以分割为共轭子群类。【定义1.8】（不变子群）设H是G的子群，若gG，hxH,有ghxg–1H，则称H为G的不变子群,记为HG。·系1如果H包含元素hx，则它将包含hx的类。◆定理1.5◆设H为G的不变子群HG,则gG,有gH=Hg或gHg–1=H.证明：hHgh=gh(g–1g)=（ghg–1）gHg故gHHg又hg=(gg-1)hg=g(g–1hg)gH故HggH所以Hg=gH，即gHg–1=H不变子群的左陪和右陪集相等。例11.13整数加法群是实数加法群的不变子群，Z+R+aR,zZ，a+z+(-a)=zZ实际上阿贝尔群的所有子群都是不变子群。◆定理1.6◆设H为G的不变子群HG，则G的陪集串分割H,g1H,g2H„giH„中，两个陪集giH和gjH中元素的乘积必属于陪集（gigj）H，即giHgjH=（gigj）H。证明：HghgHghgjjii,有)()()()()()(111hhhHgghggghghhhgghghggghghggghghgjijijjjijjjijjjiji令令—9—即giHgjH=（gigj）H由定理1.6可定义不变子群的商群。【定义1.9】（不变子群的商群）设HG，以分割G群的陪集串为元素，做成一个新的集合，｛H，g1H,g2H，„，giH，„｝并定义集合中元素的乘法规则：giHgjH=（gigj）H，则G的不变子群H生成的陪集串构成一个群，称为不变子群H的商群，记为G/H。例1.14D3群{e,d,f,a,b,c}的子群H4=｛e,d,f｝是不变子群，子群H4的陪集分割为：H4=｛e,d,f｝,aH4=｛a,b,c｝则商群D3/H4=｛H4，aH4｝,可以验证（aH4）2=H4,即D3/H4为二阶循环群Z2。§1.4群的同构与同态【定义1.10】两个群G，