《高中数学竞赛》数列

1竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。一、等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{an}的通项公式为：)1()1(1dnaan前n项和公式为：)2(2)1(2)(11dnnnaaanSnn从(1)式可以看出，na是n的一次数函(0d)或常数函数(0d)，(nan,)排在一条直线上，由(2)式知，nS是n的二次函数(0d)或一次函数(0,01ad)，且常数项为0。在等差数列{na}中，等差中项：221nnnaaa且任意两项nmaa,的关系为：dmnaamn)(它可以看作等差数列广义的通项公式。2从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：nkaaaaaaaakknnn3,2,1,123121若qpnmaaaaqpnmNqpnm:,,,,,*则有且等等或等差数列,,,,1)12(,)12()1(232121knnkkkkkknnnmSSSSSSSanSanS二、等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。等比数列{an}的通项公式是：11nnqaa前n项和公式是：1,1qnanS1,11)1(111qqqaaqqann在等比数列中，等比中项：21nnnaaa且任意两项nmaa,的关系为mnmnqaa如果等比数列的公比q满足0＜q＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：qaS11从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：3121121212321*123121)(,)(:,,:,,,,,,3,2,1,nnnnnnnnnmqpknknnnaaaaaaaaaaNqpnmnkaaaaaaaa则有记则有若另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂naC，则{naC}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。三、范例例1．设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：nmqpaaaa证明：设等比数列{na}的首项为1a，公比为q，则nmqpnmnmqpqpnnmmqqppaaaaqaaaqaaaqaaqaaqaaqaa:,:22122111111111故所以说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+k·an-k=a1·an对于等差数列，同样有：在等差数列{na}中，距离两端等这的两4项之和等于首末两项之和。即：a1+k+an-k=a1+an例2．在等差数列{na}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=A.20B.22C.24D28解：由a4+a12=2a8，a6+a10=2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C例3．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a101＞0B.a2+a100＜0C.a3+a99=0D.a51=51[2000年北京春季高考理工类第(13)题]解：显然，a1+a2+a3+…+a101CaaaaaaaaaaS选从而故,0,00101)(21101199310021011101101例4．设Sn为等差数列na的前n项之各，S9=18，)9(304nan，Sn=336，则n为()A.16B.21C.9D8BnnnaanSaaaaaaSnnnn选故而所以故由于解,2133616322)(2,323022,189:11455595例5．设等差数列{na}满足13853aa，且1a＞0，nS为其前n项之和，则)(*NnSn中最大的是()。(1995年全国高中联赛第1题)(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21020,20:,0)240(39)1(392)1()12(5)7(353:111111138nnnannananaadnaadadaaa时当则令故解所以:S19=S20最大，选(C)注：也可用二次函数求最值例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个[1997年全国高中数学联赛第3题]解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有：(*)972)1(2972)1(22ndnadnnna因为n是不小于3的自然数，97为素数，故数n的值必为2×972的约数(因数)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。若0d，则1d由(*)式知2×972≥)1()1(nndnn故只可能有n=97，(*)式化为：9748da，这时(*)有两组解：697097adn或1297adn若0d，则(*)式化为：297na，这时(*)也有两组解。97097adn或1297adn故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：49，50，51，…，145，(共97项)1，3，5，…，193，(共97项)97，97，97，…，97，(共97项)1，1，1，…，1(共972=9409项)故选(C)例7．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…(第一组)(第二组)(第三组)则1991位于第组中。[1991年全国高中数学联赛第3题]解：依题意，前n组中共有奇数1+3+5+…+(2n-1)=n2个而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。7因为:312=961＜996＜1024=322所以:1991应在第31+1=32组中。故填32例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为。[1989年全国高中联赛试题第4题]解：设该数为x，则其整数部分为[x]，小数部分为x-[x]，由已知得：x·(x-[x]=[x]2其中[x]＞0，0＜x-[x]＜1，解得：251251,1,12150215,251xxxxxxxxx故应填例9．等比数列na的首项15361a，公比21q，用πn表示它的前n项之积，则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13[1996年全国高中数学联赛试题]解：等比数列na的通项公式为191)21(153623)21(1536nnna前n项和0)21(23:)21(23)21(1536559911112)1(92)1(因为nnnnnnnn8最大故1212397811713139421266108121245368199,2322323223,239223选(C)例10．设yx，且两数列yaaax,,,,321和43,21,,,,bybbxb均为等差数列，则1234aabb[1988年全国高中联赛试题]解：依题意，有)(412aaxy所以:38)(31:)(3)(411234232312aabbxybbbbxyxyaa所以又例11．设zyx,,是实数，zyx5,4,3成等比数列，且zyx1,1,1成等差数列，则xzzx的值是[1992年全国高中数学联赛试题]解：因为zyx5,4,3成等比数列，所以有:,1,1,1)1(1516:)4(5322所以有成等差数列又即zyxxzyyzx)2(2,:,11zxxzyyzxzzxyzzx即9xzzxzxzxxzzyxxzzxzx34)(15)2(15640,0,015)(416:)1()2(2222222得代入将1534xzzx例12．已知集合M={)lg(,,xyxyx}及N={yx,,0}并且M=N，那么的值等于)1()1()1()1(200120013322yxyxyxyx()解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知0xy，从而0x，且0y，故只有lg(xy)=0，xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1,y=1(含)，由x=-1y=-1，M=N={0,1,-1}此时,21,21,21,2122121222kkkkyxyxyxyx从而2)1()1()1(2001200122yxyxyx注：数列x，x2，x3，…，x2001；200121,1,1yyy以及2001200133221,,1,1,1yxyxyxyx在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，10故2001并不可怕。例13．已知数列{na}满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式∣Sn-n-6∣＜1251的最小整数n是()[1994年全国高中数学联赛试题](A)5(B)6(C)7(D)8解：由3an+1+an=4(n≥1)3an+1-3=1-an81),1(31111aaann故数列{an-1}是以8为首项，以31为公比的等比数列，所以11)31(81)31(81nnnnaannnnnS)31(66)31(1)31(18nnnS)31(667651324325031251)31(6)31(6651nnnSnnnn11当n=7时满足要求，故选(C)[注]：数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列：1)31(8,,98,38,8n的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。例14．设数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列{bn}满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)求数列{nb}的前n项和。[1996年全国高中数