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第二章有限元发展及新趋势在17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。在18世纪,著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。另一位数学家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用位移函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择位移函数中形函数的伽辽金法方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用位移函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。1、有限元法的孕育过程在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。2、有限元法的形成与发展2有限单元法的形成与发展数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。2有限单元法的形成与发展我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述的场问题的求解。广义变分原理胡海昌——鹫久津一郎方程3有限元的应用•有限元方法可用于分析结构和非结构问题。•典型的结构问题包括：1应力分析，包括桁架和框架分析，与孔、凸起式其他物体几何形状改变相关的应力集中问题。2屈曲，稳定分析。3振动分析。•非结构问题包括：1热传导；2流体流动，包括通过多孔材料的渗流。3电位或者磁位的分布。3有限元的一些应用双向拉索悬索桥用有限元方法进行动力分析3有限元的一些应用长悬挑空间桁架结构动力分析——南京建筑艺术博物馆3有限元的一些应用长悬挑空间桁架结构动力分析3有限元的一些应用交叉桁架体系南通体育中心(2006)3有限元的一些应用大跨度空间结构的模态分析2008奥运会主体育场国家体育场建筑体形上像鸟巢，建筑面积25.8m2。可容纳10万人。平面为椭圆形，长轴340m，短轴292m。屋盖中间有一个146m×76m的开口，这部分将设计成开合屋盖。采用加肋薄壁箱形截面，总用钢量达16万吨。3有限元的一些应用广州机场航站楼新疆石油管理局单层索网3有限元的一些应用工程用销轴铰接节点计算模型中国药大新体育中心支座节点3有限元的一些应用BMW曲轴的感应淬火（InductionquenchingofcrankshaftsatBMW，用SysWeld软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的疲劳寿命。3有限元的一些应用北京植物园展览温室的CAD模型和前两阶模态3有限元的一些应用中华世纪坛旋转圆坛主体钢结构的有限元模型3有限元的一些应用汽车安全性试验中的汽车顶部承载仿真模拟试验(用于模拟翻车事故)3有限元的一些应用管道流体流动模拟大跨结构新趋势一些新结构的启示-自然生长的力量萨尔瓦多-达利博物馆大跨结构新趋势巴西尼迈耶当代艺术博物馆一些新结构的启示-自然生长的力量大跨结构新趋势法国蓬皮杜现代艺术博物馆一些新结构的启示-自然生长的力量大跨结构新趋势一些新结构的启示-自然生长的力量日本北方生涯学习中心一些新结构的启示-自然生长的力量日本水户艺术馆一些新结构的启示-自然生长的力量4一些基本概念•结构离散（有限元建模）内容：1）网格划分——即把结构按一定规则分割成有限个单元2）边界处理——即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷要求：1）离散结构必须与原始结构保形——单元的几何特性2）一个单元内的物理特性必须相同——单元的物理特性4一些基本概念•单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域•节点：单元与单元间的连接点。•节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力•节点载荷：作用于节点上的外载。注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2）节点力与节点载荷的差别123X2①②Y21212xF①12yF11xF11yF22yF23yF2②322xF23xF节点载荷节点力典型单元类型单元类型单元图形节点数节点自由度杆单元21梁单元23平面单元32平面四边形42轴对称问题32板壳单元43(6)四面体单元435有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个简单的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，采用能量原理研究单元机器离散集合体的平衡，结合变形协调条件，以计算机为工具进行结构数值分析。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，FiniteElementMethod)。有限单元方法是迄今为止最为有效的数值计算方法之一，它对科学与工程技术的提供巨大支撑。把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。○○①②③④⑤⑥⑦⑧12345678910P576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧弹性悬臂板剖分与集合单元、节点需编号5有限元法的基本思想6有限元法的基本步骤1建立所研究问题的力学模型•在所有的结构问题中,采用有限元分析时,必然需要一个初步的力学模型,应该说,从目前科技发展状况来看,合理的力学模型对有限元的分析效果起着至关重要的作用。•力学模型不是越真实越好，有时只能带来计算耗时的无谓增加，分析模型应该能够准确反映实际结构的受力状态。P力学模型(平面应力问题)6有限元法的基本步骤2模型离散和选择单元类型选择最适当的单元类型来最接近地模拟实际的物理性能，将求解模型离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替。P有限元模型6有限元法的基本步骤3单元分析a)对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示，通常称为插值函数或位移函数。b)定义应变位移和应力应变关系为了推导每一个有限单元的方程，需要应变位移和应力应变关系。比如说此外应力和应变必须通过应力应变关系（通常叫作本构关系）联系起来。如dxduxxxE6有限元法的基本步骤c)把单元外力（面力、体力、温度等）转换到节点上，作为节点等效力。d)基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）。最初，单元刚度矩阵和单元方程的建立是根据刚度影响系数的概念，需要有结构分析的背景知识。下面介绍不一定需要结构分析基础的方法：直接平衡法根据这种方法，联系节点力和节点位移的刚度矩阵和单元方程是通过基本单元的力平衡条件和力与位移的关系得出的。最适合于线单元或者一维单元。功和能量法用功或者能量法更容易建立二维和三维单元的刚度矩阵与方程。虚功原理（虚位移）、最小势能原理等常常用来推导单元方程。其中虚功原理可用于任何材料特性，而最小势能原理只能应用于弹性材料。6有限元法的基本步骤加权余量法加权余量法在推导单元方程时很有用，特别有名的是伽辽金法。这些方法在能量法可以应用的场合得出和能量法一样的结果。特别适用于泛函（势能）不容易得到的情况下。4整体分析与求解a)解未知自由度（或者广义位移）；借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。b)求解单元应变和应力;对于结构应力应变分析来说,因为应力应变可以用上一步确定位移的直接表达式,因此应力应变是第二批得到的重要的量.可以使用典型的应变和位移关系以及应力应变关系得到应变和应力。6有限元法的基本步骤5结果分析及后处理最后的目标是解释和分析用于应力应变分析过程的结果。在进行设计和分析决策时，确定结构中最大位移和应力最大的位置通常很重要。后处理计算机程序采用图形显示的方式帮助用户解释结果。6有限元法的基本步骤解综合方程[K]{⊿}={P}求结构节点位移{⊿}计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等价节点荷载{P})离散（剖分）结构为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[k]e形成单元等价节点力)7有限单元法的优点有限单元法的优点:–可以比较容易地模拟不规则形状的结构–可以毫无困难地处理一般荷载条件–可以模拟有几种不同材料构成的结构–可以处理数量不受限制和各种类型的边界条件–通过建立模型程序化,各种二次开发语言的应用,改变结构有限元模型比较容易,花费代价小.–可处理动态问题（如施工阶段时变结构分析,冲击问题等）,以及其他大变形和非线性问题.–采用矩阵形式，便于应用于计算机–适应性强，应用范围广：复杂边界条件，非线性，非均质，动力学，热传导，电磁场，流体力学8有限元法的一些热点问题•新型单元的研究–面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究–面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究•面向物理问题的有限元建模如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法等•有限元法计算速度的研究如并行计算等•分子动力学计算•多场耦合计算,跨尺度计算•生物力学计算•无网格方法有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。有限元计算方法作为一种技术更多的与FEM软件的发展紧密的结合起来。方法不断更新，优胜劣汰，传承和发展.有限元算法（FFE）。在传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法（DirectSolver）与迭代法（Iterative所谓快速解法）两种。9有限元算法和软件软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件（流行，前处理较好）ADINA通用结构分析软件(非