浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、种类、证明的一般步骤、，探索了反证法在中学数学中的应用。关键词：反证法证明矛盾ReductiontoAbsurdityAppliedinMathematicsinMiddleSchoolWu-shileiAbstract:Inthispaper,wegivethedefinition，thelogicalbasisandspeciesofreductiontoabsurdity.Besides,weillustrateitsproceduresandexploreitsapplicationsofonmathematicsinthemiddleschool.Key-words:reductiontoabsurdityproofcontradict一.引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，1独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的一些性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。二.反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。不仿设原命题为qp，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：qpssqp，即qpssqp。逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。其主要思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出现毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，或者与公理、定理矛盾，或者与临时假定矛盾，或者自身矛盾的方式暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？我们的推理没有错误，已知条件，已知公理、定理没有错误，这样，唯一有错误的地方就是一开始假定的“结论不成立”有错误。“结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确，既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：反设：作出与求证结论相反的假设；归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。三.反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、2三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。1.否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。2.限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。例在半径为5的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9。证明：每个小圆的公共部分的面积都小于9，而九个小圆共有2936C个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649，又大圆面积为5，则九个小圆应占面积要大于945，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于9。例已知方程4430xaxa2，22(1)0xaxa，2220xaxa中至少有一个方程有实数值，求实数a的取值范围。分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a的集合的补集即可。证明：假设三个方程都无实根，则有：3222(4)4(43)(1)48aaaaa2＜0＜04a＜0解得32-＜a＜-1例6已知点E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．说明在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断．例7已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数4中，至多有一个数不小于1．证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则m≥n+p，n≥p+m．两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．所以命题成立．说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．∴所求a的范围为312aa或.3.无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题。例求证：2是无理数。分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。证明：假设2是有理数，则存在baNba,.,且互质，使2222baba，从而，a为偶数，记为ca2，∴224ca，∴222bc，则b也是偶数。由a,b均为偶数与a、b互质矛盾，故2是无理数。例求证：素数有无穷多个。5证明：假设素数只有n个：P1、P2……Pn，取整数N=P1·P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。4.逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。例正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。逆命题的证明：如图，若AB+CD＝AD+BC……（1），设四边形ABCD不能有一个内切圆，则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切，而BC与⊙O相离或相交，过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知：AE+CD＝AD+CE……（2）.当BC与⊙O相离时，（1）-（2）得AB-AE＝BC－CEBC＝CE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC与⊙O相交时，（2）-（1）得AE-AB＝CE－BCBC＝CE+BE，同样推出矛盾，则BC与⊙O不能相交或相离，BC与⊙O必相切，故四边形必有一个内切圆。5.某些存在性命题例设x，y∈(0,1),求证:对于a,b∈R,必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥31成立.证明：假设对于一切x,y∈〔0,1〕使|xy-ax-by|＜31恒成立，令x=0,y=1,则|b|＜31令x=1,y=0,得|a|＜31令x=y=1,得|1-a-b|＜31但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1-31-31=31产生矛盾,故欲证结论正确。6.全称肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现，这类肯定性命题可以用反证法试试。6例求证:无论n是什么自然数，214143nn总是既约分数。证明：假设214143nn不是既约分数，令214nka（1），143nkb（2）（,,,1kabNk），且ab为既约分数，由（2）×3-（1）×2得132132kbkabak，因32ba为整数，1k为分数，则132bak不成立，故假设不成立，分数214143nn是既约的。7.一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。例已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bc-ad+cd＝0即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）2＝0∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.例在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC.∵AD=AC∴△ADC为等腰三角形∴∠ADC＝∠ACD，又∵∠ABC为△ABD的一个外角∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD而∠ACD＞∠ACB＝∠C∴∠ABC＞∠C即∠B＞∠C，与已知矛盾.∴假设不成立，原命题成立7例3求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．分析这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0．证假设bc=0．(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．例4证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积．分析否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．证假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以x2-xy+y2+x+y=(ax+by)(cx+dy+e)=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．8比较系数得由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为ad+be=bd+bd=2bd=-1，没有完全平方数．分析与证明(1)我们先来观察这一串数有什么特征．11=2×5+1，111=2×55+1，1111=2×555+1，………………(2)我们再用反证法来证明这一命题．因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设9a+1=2m，a-1=2n．这样8.基本命题即学科中的起始性命题，此