人教A版数学必修五-第一部分-2.2-第一课时-等差数列课件

2.2等差数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章数列第一课时等差数列考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三1．在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0,5，________，________，________，________，…2．鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，…3．水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，需定期放水清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18,15.5,13,10.5,8,5.5问题：观察下面的这三个数列：0,5,10,15,20，…①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…②18,15.5,13,10.5,8,5.5③这些数列有什么共同特点呢？提示：以上三个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个数列都具有相邻两项差为同一个常数的特点)．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.2同一个公差d提示：因为a，A，b成等差数列，所以A－a＝b－A，所以就有A＝a＋b2.问题：如果在a与b中间抽入一个数，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？1．等差中项：如果a，A，b成数列，那么A叫做a与b的等差中项．2．等差中项的性质A是a与b的等差中项⇔(或).等差A＝a＋b22A＝a＋b问题：若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则根据其定义可得：a2－a1＝________，即a2＝a1＋________；a3－a2＝________，即a3＝a2＋d＝a1＋________；a4－a3＝________，即a4＝a3＋d＝a1＋________；…由此可归纳等差数列的通项公式an＝________.提示：a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝…＝d，a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d，…由此归纳：an＝a1＋(n－1)d.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，递推公式通项公式＝d(n≥2)an＝an－an－1a1＋(n－1)d1．对等差数列定义的理解(1)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．(3)等差数列的定义可用符号语言表述为：在数列{an}中，若an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)，则称数列{an}为等差数列．2．在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个变量an、a1、n、d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．第一课时等差数列[例1]已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．记bn＝an＋1－an.(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{bn}是等差数列．[思路点拨]利用等差数列的定义作答．(1)考察an＋1－an，寻求使之为常数时p、q应满足的条件；(2)证bn＋1－bn是一个常数．[精解详析](1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q.欲使{an}为等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，而只有2p＝0即p＝0时，an＋1－an＝q为常数．故当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．(2)∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴bn＋1－bn＝(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，故数列{bn}是等差数列．[一点通]定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列是()A．公差为2的等差数列B．公差为5的等差数列C．公差为n的等差数列D．非等差数列解析：∵an＋1－an＝[2(n＋1)＋5]－(2n＋5)＝2.∴数列{an}是公差为2的等差数列．答案：A2．已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lgan}是等差数列．证明：∵lgan＋1－lgan＝lg7n＋3－lg7n＋2＝(n＋3)lg7－(n＋2)·lg7＝lg7是一个常数．∴数列{lgan}是等差数列.[例2](1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d；(2)已知数列{an}为等差数列a3＝54，a7＝－74，求a15的值．[思路点拨](1)可直接利用通项公式列关于a1与d的方程组求解，也可以由公式am＝an＋(m－n)d求公差d，再求首项a1；(2)可先求得首项a1和公差d，再利用通项公式求解，也可由公式am＝an＋(m－n)d求公差，再利用此公式求解．[精解详析](1)法一：∵a5＝10，a12＝31，则a1＋4d＝10，a1＋11d＝31，⇒a1＝－2，d＝3.所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.法二：∵a12＝a5＋7d⇒31＝10＋7d⇒d＝3，由10＝a1＋(5－1)×3得a1＝－2，所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.(2)法一：由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74.解得a1＝114，d＝－34.∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×(－34)＝－314.法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，得d＝－34.∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×(－34)＝－314.[一点通](1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．(2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d则较为简捷．3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是()A．92B．47C．46D．45解析：可知a1＝1，a2＝－1，∴公差d＝a2－a1＝－2.令an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d，即－89＝1－2(n－1)，得n＝46.答案：C4．在等差数列{an}中，若a1＋a6＝12，a4＝7，则a9＝________.解析：由题意，知a1＋a1＋6－1d＝12，a1＋4－1d＝7.解得a1＝1，d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.答案：175．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，由题意知，－401＝－4n－1.得n＝100，即－401是这个数列的第100项.[例3](12分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3)哪一年的规模最大？请说明理由．[思路点拨]首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列模型，进行求解，得出结论．[精解详析]由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.(3分)(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1，d1＝0.2⇒a2＝1.2；由b1＝30，b6＝10，得b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30，d2＝－4⇒b2＝26.所以c2＝a2b2＝1.2×26＝(6分)(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．(8分)(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．∵对称轴为n＝94，所以当n＝2时，cn最大．(11分)答：(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．(12分)[一点通](1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．6．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．解析：a1＝4，a3＝12，所以d＝12－43－1＝4.答案：47．某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．1．在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，共有四个量．已知任意三个量可求得第四个量，其中首项和公差称之为基本量．涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量a1，d来处理．在解题中，善于选择公式，即尽量减少运算量，可达到快速、准确解题的目的．2．判断一个数列是否为等差数列的常用方法方法符号语言结论定义法an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*){an}是等差数列等差中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N*)通项公式法an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)