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1《工程数学线性代数》教学大纲一、课程性质、地位和任务线性代数是一门重要的数学基础课程，已被广泛地应用于管理学科的各个领域，它是理工科大学生必备的基础知识。本课程基本任务是学习行列式，矩阵及其运算，向量的线性相关性，矩阵的初等变换与线性方程组，相似矩阵及二次型，线性空间等理论及其有关知识。在教学过程中注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提高学生分析问题解决问题的能力。通过本课程的学习，使学生具备有关线性代数的基本理论及方法，并能用它解决一些实际问题，为学生学习后续课程打下必要的数学基础。二、课程基本要求理论和知识方面掌握本课程的基本知识和基本理论，如行列式的概念和性质、克拉默法则、矩阵的概念及线性运算、逆矩阵的概念、矩阵的初等变换、矩阵的秩、n维向量的概念、向量组线性相关性的概念、向量空间的概念、线性方程组的解的结构、线性方程组基础解系、特征值与特征向量的概念、相似矩阵的概念、正交变换、二次型、二次型的矩阵表示等。能力和技能方面掌握本课程的基本技能，如行列式的计算、矩阵的运算、矩阵初等变换、逆矩阵的计算、矩阵及向量组秩的计算、向量组线性相关性的判别、线性方程组的求解、施密特正交化过程、矩阵特征值与特征向量的计算、实对称矩阵的相似变换、化二次型为标准形的方法等。该课程基本要求的设置分三个层次，其中对概念与理论用“理解”、“了解”和“知道”表述，对方法和运算用“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。三、课程内容及学时分配第一章行列式（8学时）第一节二阶与三阶行列式第二节全排列及其逆序数第三节n阶行列式的定义第四节对换第五节行列式的性质第六节行列式按行(列)展开第七节克拉默法则基本要求：一、了解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质。二、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开的定理计算行列式。三、了解克拉默(Gramer)法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。难点：行列式的定义，行列式的性质及行列式按行(列)展开定理，一些特殊n阶行列式的计算。2本章以讲授为主，从解二元和三元线性方程组入手引入二阶和三阶行列式的概念，在此基础上引入n阶行列式的概念并讨论行列式的性质，进一步给出求线性方程组的一种方法----克拉默法则。第二章矩阵及其运算（8学时）第一节矩阵第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节矩阵分块法基本要求一、理解矩阵的概念，掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法运算、矩阵转置运算、方阵的行列式以及它们的运算规律。二、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及方阵可逆的充分必要条件。三、理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。四、了解分块矩阵的概念及分块矩阵的运算。重点：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵的概念、性质及其计算。难点：矩阵的乘法运算，逆矩阵，分块矩阵的运算。本章以讲授为主，从方程组的简化形式和实际问题入手引入矩阵的概念、并给出矩阵的运算，从而线性方程组可用矩阵的形式给出，在一定条件下可用逆矩阵求解线性方程组。第三章矩阵的初等变换与线性方程组(8学时)第一节矩阵的初等变换第二节矩阵的秩第三节线性方程组的解基本要求一、掌握矩阵的初等变换，知道初等矩阵的概念。二、了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念。三、掌握用初等行变换求矩阵的秩和矩阵的逆矩阵的方法。四、掌握用初等行变换解线性方程组的方法。重点：矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩的概念。难点：矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩。本章以讲授为主，从解线性方程组的高斯消元法入手引入矩阵的初等变换概念，初等变换作用于单位阵上得到初等矩阵，用初等行变换求矩阵的秩和求可逆矩阵的逆矩阵的方法，进一步得到用初等行变换求解线性方程组的方法。第四章向量组的线性相关性（10学时）第一节向量组及其线性相关性第二节向量组的线性相关性3第三节向量组的秩第四节线性方程组的解的结构第五节向量空间基本要求一、了解向量的概念，掌握向量秩的概念，了解向量等价概念及判定方法。二、理解向量的线性组合与线性表示的概念，理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。三、理解向量组最大无关组的概念，掌握求向量组最大无关组的方法。四、理解向量组秩的概念，了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系，掌握求向量组秩的方法。五、理解线性方程组解的结构，了解基础解系的概念，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件，能熟练求出齐次线性方程、非齐次线性方程的通解。六、了解向量空间的概念，知道向量空间的基、维数的概念。重点：向量组的线性相关、线性无关的性质及判别，向量组的最大无关组，线性方程组解的结构，齐次线性方程组、非齐次线性方程组的求解。难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其判别，向量组的秩、最大无关组，线性方程组的求解。本章以讲授为主，从线性方程组是否有多余方程入手引入线性相关性的概念，给出向量组秩和最大无关组的概念，进一步给出线性方程组解的结构，并利用线性方程组解的结构求线性方程组的通解。第五章相似矩阵及二次型（12学时）第一节向量的内积、长度及正交性第二节方阵的特征值与特征向量第三节相似矩阵第四节对称矩阵的对角化第五节二次型及其标准形第六节用配方法化二次型成标准形第七节正定二次型基本要求一、了解向量内积的概念、向量空间正交基的概念，理解规范正交基的概念，掌握将线性无关向量组化为规范正交基的施密特(Schimidt)方法，了解正交矩阵的概念以及其性质。二、理解方阵特征值、特征向量的概念，掌握方阵特征值的性质，掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。三、了解相似矩阵的概念、性质及矩阵相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。四、了解二次型和二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理。五、掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。4六、知道正定二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。重点：方阵的特征值与特征向量的概念，特征值与特征向量的计算，矩阵相似对角化的充分必要条件，用正交变换将二次型化为标准形。难点：施密特正交化过程，特征值、特征向量的概念及其计算，用正交变换将二次型化为标准形的方法。本章以讲授为主，讨论方阵矩阵特征值与特征向量的概念，并讨论方阵可对角化的充分必要条件，从二次齐次函数引入二次型的概念，并给出化二次型为标准形的一些方法。五、课程教材[1]同济大学数学教研室编.线性代数(第五版).高等教育出版社.2007年六、课程考核方式及成绩评定考试方式：闭卷考试，时间110分钟。(考试内容应着重于基本理论的理解、基本知识和基本技能的应用)成绩构成：期未成绩由期未试卷考试成绩和平时作业成绩综合确定。七、其他说明本课程以课堂讲授为主，并安排一定数量的习题课。习题是线性代数课的重要的环节，在讲授完每节内容后布置相应的习题，在讲完一章后要针对学生的具体情况给学生上一次习题课，着重分析习题的解题方法或证明思路。注意培养学生的基本运算能力，分析问题和解决实际问题的能力。执笔人签名：周士民专业(教学部)负责人签名：主管教学院长签名：