导数的运算法则

第二节导数的运算法则用定义只能求出一些较简单的函数的导数，对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而使初等函数的求导问题系统化，简单化。一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu注1、（1）（2）可推广到任意有限个可导函数的情形2、作为（2）的特殊情况uccucv)(，则若);(])([xfCxCf或即常数因子可以提到导数符号的外面3、作为（3）的一种特殊情况，2)1(,1vvvu则若例题分析例1.sin223的导数求xxxy解23xyx4.cosx例2.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.2sin1ln2cos2xxxx例3.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx即同理可得.csc)(cot2xx例4yxy求sec解xycos1xx2cos)(cosxxxxxtanseccos1cossin同理可得xxxcotcsc)(csc二、反函数的导数定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例5.arcsin的导数求函数xy解,)2,2(sin内单调、可导在yIyx,0cos)(sinyy且内有在)1,1(xI)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11.112x同理可得.11)(arccos2xx;11)(arctan2xx.11)cot(2xxarc三、复合函数的求导法则前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，但是像12sin,,tanln22xxexx等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数?先看一个例子例8yxy，求22)1(22)1(xy4221xx344xxy)1(42xx这里我们是先展开，再求导，若像10002)1(xy求导数，展开就不是办法，再像521xy求导数，根本无法展开，又该怎么办？我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。22)1(xy复合而成的和是由221xuuyuyu2xux2)1(4)2(22xxxuuyxuxy再如xy2sin)cossin2(xxy])(cossincos)[(sin2xxxx)sin(cos222xxx2cos2注意到xy2sinxuuy2,sinuyucos2xuuuyxucos2x2cos2xy由以上两例可见：由)(),(xuufy复合而成的函数)]([xfy的导数xy恰好等于y对中间变量u的导数uy与中间变量u对自变量x的导数xu的乘积xuxuyy——这就是链式法则定理).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu上可导，且有在则复合函数上可导在上可导，在若)]([,)(,)()(11注链式法则——“由外向里，逐层求导”推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例6.sinln的导数求函数xy解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot例7.)1(102的导数求函数xy解)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx例8.)2(21ln32的导数求函数xxxy解),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxxy)2(3112xxx例9.1sin的导数求函数xey解)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11sin2xexx注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟练应用——注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)(（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(是常数)C3.复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设四、二阶导数问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(处的二阶导数在点为函数则称处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxf记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或例10).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf;00322)1()13(2)0(xxxf.2五、小结注意:);()(])()([xvxuxvxu.)()(])()([xvxuxvxu分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;二阶导数的定义及物理意义.