一元二次不等式及其解法(1-3)

第一课时3.2一元二次不等式及其解法问题提出1.对于x2－x－6＝0，y＝x2－x－6，x2－x－6＞0，它们各自的含义分别是什么？方程、函数、不等式.2.不等式:x2－x－6＞0，x2＋2x＜0，－x2＋9＞0等都叫做一元二次不等式，一般地，一元二次不等式是一个什么概念？只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.3.对于一元二次方程和二次函数，我们在初中已进行了相关研究，进一步研究一元二次不等式的解法，也就成为历史的必然.探究（一）：a＞0时(或＜0)的解法思考1：方程x2－x－6＝0的根是什么？对于函数y＝x2－x－6，x取何值时，函数值大于0？x取何值时，函数值小于0？20axbxc++思考2：一元二次不等式x2－x－6＞0的解集是什么?一元二次不等式x2－x－6＜0的解集是什么?{x|x＜－2或x＞3}；{x|－2＜x＜3}思考3：一般地，当a＞0时，通过什么手段可以确定一元二次不等式与的解集？20axbxc++20axbxc++思考4：二次函数的图象与x轴的相对位置关系有哪几种可能？其判定原理是什么？2(0)yaxbxca=++数形结合思考5：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？000cbxaxy20a)(,2121xxxx二次函数的图象一元二次方程的根cbxaxy200020axbxc20axbxc(0)a的解集(0)a(0)a20axbxc(0)a的解集)(,2121xxxxabxx22121xxxxx或abxx221xxxxR有两相异实根有两相等实根无实根探究（二）：a＜0时(或＜0)的解法20axbxc++思考1：二次函数的图象有什么特点?与x轴的相对位置关系有哪几种可能？2(0)yaxbxca=++思考2：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？000cbxaxy20a)(,2121xxxx二次函数的图象一元二次方程的根cbxaxy200020axbxc20axbxc(0)a的解集(0)a(0)a20axbxc(0)a的解集)(,2121xxxxabxx22121xxxxx或abxx221xxxx有两相异实根有两相等实根无实根Rxyox1x2xyox1=x2xyo思考3:不等式(x＋2)(x－3)＜0和(x－2)(x＋3)＞0的解集分别是什么？思考4:一般地，若a＜b，则不等式(x－a)(x－b)＜0和(x－a)(x－b)＞0的解集分别是什么？理论迁移例1求下列不等式的解集.2(1)4410xx2(2)230xx-+-1{|}2xx¹ÆÆ例2解不等式2223xx1{|,2}2xxx-或例3解下列不等式：2(1)30x-2{|0}3xxx或3(2)11x³-{|14}xx?小结作业1.一元二次不等式一般可化为或(a＞0)的形式.不等式与的解集有一定的差异.2.解一元二次不等式的基本思路：将原不等式化为一般式→分解因式→结合图象写出解集.20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc3.简单分式不等式可转化为一元二次不等式求解.或0(0)xaxb--作业：P80习题3.2A组：1，2.第二课时3.2一元二次不等式及其解法问题提出1.什么是一元二次不等式？其一般形式如何？概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式；20axbxc++一般形式：20axbxc++一般式:或20axbxc20(0)axbxca2.解一元二次不等式的基本思路如何？3.一元二次不等式是一类基本不等式，解一元二次不等式在许多实际问题中有着广泛的应用，对此，我们将进行一些实例分析.将原不等式化为一般式→分解因式→结合图象写出解集.探究（一）：上网费用问题某同学要把自己的计算机接入因特网，现有甲、乙两家公司可供选择.甲公司每小时收费1.5元(不足1小时按1小时计算)；乙公司的收费原则为:上网的第一小时内(含1小时，下同)收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网超过17小时，按17小时计算).【背景材料】思考1：假设一次上网时间为x小时(不足17小时)，则在甲、乙两家公司上网所收取的费用分别为多少元？思考2：如何用不等式表示“选择甲公司较合算”？甲：1.5x元；乙:元.(35)20xx(35)1.520xxx思考3：如何根据上网时间选择到甲、乙两家公司上网？一次上网时间在5小时以内，去甲公司上网；超过5小时，去乙公司上网；恰好5小时，去两家公司均可.探究（二）：成本与收益问题【背景材料】某摩托车生产企业，上年度投入的成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需要，计划提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.思考1：你能用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量吗?思考2：本年度的预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系如何？成本：1+x；出厂价:1.2(1+0.75x)；年销售量:1000(1+0.6x).26020200(01)yxxx思考3：如何用不等式表示“本年度的年利润比上年有所增加”？思考4:为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应在什么范围内？（0，1/3）26020200(1.21)1000(01)xxx探究（三）：耕地税收问题【背景材料】某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格2.4万元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少2.5t万亩.思考1：该省每年征收的耕地占用税为多少万元？4(202.5)102.4100tt-创?思考2：为了既减少耕地损失，又保证该项税收一年不少于9000万元，实数t应满足的不等式是什么？思考3：为达到上述目的，应怎样确定t的范围？4(202.5)102.49000100tt-创闯[3，5]理论迁移例1汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”，它是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：＝0.1x＋0.01x2，＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任？S甲S乙乙超速行驶应负主要责任.例2一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:若这家工厂希望在一个星期内，利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?22220yxx约生产51～59辆.例3某台风中心从A处以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km以内(30km)的地区为危险区.城市B在A处的正东方向40km处，那么城市B处于台风危险区内的持续时间是几小时？持续时间是1小时.CAB1.解决一元二次不等式的应用性问题，关键在于构造一元二次不等式模型.其基本思路是：将题中的某个主变量设为x→用x表示其他相关变量→根据题中的不等关系列出不等式→解不等式得结论.小结作业2.解一元二次不等式的应用性问题时，要注意结果必须有实际意义，并对问题作出相应回答.作业：P80习题3.2A组：5，6.B组:4.第三课时3.2一元二次不等式及其解法问题提出20axbxc++20axbxc++一般形式：1.解一元二次不等式的基本思路如何？将原不等式化为一般式→分解因式→结合图象写出解集.2.解一元二次不等式的应用性问题的基本思路是什么？将题中的某个主变量设为x→用x表示其他相关变量→根据题中的不等关系列出不等式→解不等式得结论.20axbxc++20axbxc++一般形式：3.解系数为常数的一元二次不等式是比较简单的问题，有些一元二次不等式的系数含参数，解这类不等式一般需要分类讨论，我们将作些相应研究.探究（一）：对根的大小讨论对于不等式(a为实常数).2(1)0xaxa-++思考1：不等式左边可以分解因式吗？思考2：函数的图象有哪些特征？2(1)yxaxa=-++思考3：如何讨论不等式的解集？当a＞1时，解集为（1，a）；当a＜1时，解集为（a，1）；当a＝1时，解集为Ф.()(1)0xax--()(1)0xax--探究（二）：对二次项系数讨论思考1：不等式左边可以分解因式吗？思考2：函数的图象特征与a的取值有什么关系？对于不等式(a为实常数).2(21)20axax+--2(21)2yaxax=+--思考3：不等式化为,进一步求解需要考虑哪些因素？(1)(2)0axx-+思考4：如何讨论不等式的解集？(1)(2)0axx-+1(2,)a-当a＞0时，解集为；当时，解集为当时，解集为当a＝0时，解集为1(2,)a-102a-1(,)(2,)a-?+?U12a?1(,2)(,)a-?+?U(2,)-+?探究（三）：对判别式讨论对于不等式(a为实常数).思考1：判别式的符号确定吗？20xaxa-+思考2：当△＞0时，方程两根的大小关系如何？20xaxa-+=221244,22aaaaaaxx--+-==x1＞x2思考3：当△=0时，方程的根是什么?20xaxa-+=当a＝0时，x1＝x2＝0；当a＝4时，x1＝x2＝2.20xaxa-+思考4：如何讨论不等式的解集？当a≥4或a≤0时，解集为当0＜a＜4时，解集为R.2244(,)(,);22aaaaaa--+--??U理论迁移例1解不等式(a≠0为常数).1(1)(1)0xxa当a＞0时，解集为当a＜0时，解集为1(1,1)a-1(1,1)a-例2解不等式(a为实常数).2210axx-+当a≥1时，解集为Ф；当0＜a＜1时，解集为当a＝0时，解集为当a＜0时，解集为1111(,)aaaa--+-1(,)2+?1111(,)(,)aaaa+----??U1.含参数的一元二次不等式时，当根的大小不定，二次项系数符号不定，判别式符号不定时必须分类讨论写解集.一般先对二次项系数分大于零、等于零和小于零讨论；当二次项系数不等于零时，再对其判别式进行讨论；当判别式大于零时，对方程两根的大小进行比较讨论，最后确定解集.小结作业2.如果讨论层次较多，可以先找临界点，再按临界点分区间写解集.临界点的解集可合并到区间的则合并，不能合并的单独分类.作业：P80习题3.2A组：3，4.B组:1,2.