高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

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高中数学函数知识点总结1.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)2.求函数的定义域有哪些常见类型?例:函数的定义域是yxxx432lg(答:,,,)022334函数定义域求法:分式中的分母不为零;偶次方根下的数(或式)大于或等于零;指数式的底数大于零且不等于一;对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,,且反三角函数的定义域函数y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是,函数y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π],函数y=arctgx的定义域是R,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。3.如何求复合函数的定义域?的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf义域是_____________。(答:,)aa复合函数定义域的求法:已知)(xfy的定义域为nm,,求)(xgfy的定义域,可由nxgm)(解出x的范围,即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21,则)(log2xf的定义域为。分析:由函数)(xfy的定义域为2,21可知:221x;所以)(log2xfy中有2log212x。解:依题意知:2log212x解之,得42x∴)(log2xf的定义域为42|xx4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=2x-2x+5,x[-1,2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂.112..22222222bay型:直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简,再用均值不等式xmxnx1例:y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一:用判别式法二:用换元法,把分母替换掉xx1(x+1)(x+1)+11例:y(x+1)1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=11xxee,2sin11siny,2sin11cosy的值域。222110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式,求出,就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=25xlog31x(2≤x≤10)的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+1x的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,2,(2),2(,20,(1)的取值范围(2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2即也是直线ddyxxykykxxRdxbyxbR例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。由上图可知:当点P在线段AB上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10故所求函数的值域为:[10,+∞)例求函数y=1362xx+542xx的值域解:原函数可变形为:y=)20()3(22x+)10()2(22x上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,ymin=∣AB∣=)12()23(22=43,故所求函数的值域为[43,+∞)。注:求两距离之和时,要将函数9、不等式法利用基本不等式a+b≥2ab,a+b+c≥3abc3(a,b,c∈R),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例:33()13()32x(3-2x)(0x1.5)xx+3-2x=xx(3-2x)(应用公式abc时,应注意使3者之和变成常数)abc10.倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况例求函数y=32xx的值域332(0)11113333222x=xx(应用公式a+b+c时,注意使者的乘积变成常数)xxxxxxabc2320121112202222012时,时,=00xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?切记:做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂如:,求fxexfxx1().令,则txt10∴xt21∴ftett()2121∴fxexxx()212106.反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)如:求函数的反函数fxxxxx()1002(答:)fxxxxx1110()在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:(2004.全国理)函数)1(11xxy的反函数是(B)A.y=x2-2x+2(x1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x1)D.y=x2-2x(x≥1)当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的思路:原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y=1.排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1,答案为B.我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?7.反函数的性质有哪些?反函数性质:1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;③设的定义域为,值域为,,,则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()baffafbaffbfab111()()()(),由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如(04.上海春季高考)已知函数)24(log)(3xxf,则方程4)(1xf的解x__________.8.如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种:(1)定义法:根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()fxfx与1的关系(2)参照图象:①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;(特例:奇函数)②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)(3)利用单调函数的性质:①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)⑤函数f(x)与1()fx在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减//减增减//减减增减减如:求的单调区间yxxlog1222(设,由则uxxux22002且,,如图:log12211uuxuO12x当,时,,又,∴xuuy(]log0112当,时,,又,∴xuuy[)log1212∴……)9.如何利用导数判断函数的单调性?在区间,内,若总有则为增函数。(在个别点上导数等于abfxfx'()()0零,不影响函数的单调性),反之也对,若呢?fx'()0如:已知,函数在,上是单调增函数,则的最大afxxaxa013()值是()A.0B.1C.2D.3(令fxxaxaxa'()333302则或xaxa33由已知在,上为增函数,则,即fxaa()[)1313∴a的最大值为3)10.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()注意如下结论:(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。()若是奇函数且定义域中有原点,则。2f(x)f(0)0如:若·为奇函数,则实数fxaaaxx()2

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