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第二章方程(组)与不等式(组)第6讲一次方程与方程组考点一等式的性质及方程的有关概念1．等式的性质性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，所得的结果仍是等式．即如果a＝b，那么a±c＝b±c.性质2：等式的两边都乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，所得的结果仍是等式．即如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc(c≠0)．2．方程：含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．考点二一元一次方程及其解法1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数(元)，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a≠0)．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.考点三二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组(1)二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0，b≠0)．(2)两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，构成二元一次方程组．2．解二元一次方程组的基本思路：消元．3．二元一次方程组的解法(1)代入消元法；(2)加减消元法．温馨提示：当方程组中一个方程的某个未知数的系数的绝对值为1时，用代入消元法较为简单；当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，用加减消元法较为简单.考点四三元一次方程组的定义与解法选学1．三元一次方程组：方程组中含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．2．解三元一次方程组的一般步骤：三元一次方程组――→消元二元一次方程组――→消元一元一次方程．考点五一次方程组的应用1．列一次方程(组)解应用题的一般步骤(1)弄清题意，搞清楚条件是什么，求什么．(2)设未知数：直接设未知数，问什么设什么；间接设未知数.(3)找出能够包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系)．(4)列出方程(组)．(5)求出方程(组)的解．(6)检验(看是否符合题意)．(7)写出答案(包括单位名称)．2．列一次方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系.3．应用题中常见的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是100a＋10b＋c；②日历中前后两日差1，上下两日差7.(2)体积变化问题：变形前后体积相等.(3)打折销售问题①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%.(4)行程问题路程＝速度×时间．若用v表示轮船的速度，用v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，则有如下关系：v顺＝v＋v水v逆＝v－v水v＝v顺＋v逆2v水＝v顺－v逆2在轮船航行问题中，知道v顺、v逆、v、v水中的任何两个量，总能求出其他的量．(5)储蓄问题①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)．(6)工程问题工作量＝工作效率×工作时间．考点一方程(组)的解例1(2014·孝感)已知x＝－1，y＝2是二元一次方程组3x＋2y＝m，nx－y＝1的解，则m－n的值是()A．1B．2C．3D．4【点拨】把x＝－1，y＝2代入3x＋2y＝m，nx－y＝1，得m＝1，n＝－3，∴m－n＝1＋3＝4.故选D.【答案】D方法总结：方程组的解一定适合原方程组，把它代入原方程组，得到关于未知字母的方程组，进而求出未知字母及关于未知字母的代数式的值.考点二二元一次方程组的解法例2(2014·滨州)解方程组：3x－y＝7，①x＋3y＝－1.②【点拨】本题考查方程组的解法，采用加减消元法或代入消元法均可．解：方法一(加减消元法)：①×3＋②，得10x＝20，则x＝2.把x＝2代入①，得6－y＝7，则y＝－1.∴方程组的解为x＝2，y＝－1.方法二(代入消元法)：由①，得y＝3x－7.③把③代入②，得x＋3(3x－7)＝－1，解得x＝2.把x＝2代入③，得y＝－1.∴方程组的解为x＝2，y＝－1.方法总结：1.用代入消元法解方程组，在用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数时，通常选择未知数的系数绝对值为1的方程或常数项为0的方程进行变形.2.用加减消元法解方程组，在各未知数的系数不相同也不相等时，先确定要消去的未知数，然后将这个未知数的系数化为它们的最小公倍数，即化为绝对值相等的数.考点三一次方程(组)的应用例3(2014·遂宁)我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售．打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需要190元；购买2件甲商品和3件乙商品需要220元．而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？【点拨】本题考查实际问题中的打折销售问题，可列出方程组解答．解：设打折前1件甲商品需要x元，1件乙商品需要y元，得3x＋y＝190，2x＋3y＝220.解得x＝50，y＝40.打折前购买10件甲商品和10件乙商品需要：10×(50＋40)＝900(元)，少花：900－735＝165(元)．答：店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品比不打折前少花165元．方法总结：1.列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的等量关系，正确的列出方程组.2.设未知数可以采用直接设法也可以采用间接设法.3.一般地，设几个未知数，就应列出几个方程.4.要根据应用题的实际意义检验求得的解是否合理，不符合题意的解应该舍去.1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是(B)A.x＝0，y＝－12B.x＝1，y＝1C.x＝1，y＝0D.x＝－1，y＝－12．已知x∶3＝y∶2，那么下列式子中一定成立的是(B)A．3x＝2yB．2x＝3yC．x＝6yD．y＝6x解析：由等式的基本性质，在等式x∶3＝y∶2的两边都乘6，可得2x＝3y，即2x＝3y一定成立．故选B.3．方程y－y－12＝2－y＋23去分母后，结果正确的是(C)A．6y－y－1＝2－2(y＋2)B．6y－y－1＝12－2(y＋2)C．6y－3(y－1)＝12－2(y＋2)D．6y－3(y－1)＝2－2(y＋2)解析：方程两边同乘6，得6y－3(y－1)＝12－2(y＋2)．故选C.4．已知x＝2，y＝1是二元一次方程组ax＋by＝7，ax－by＝1的解，则a－b的值为()A．－1B．1C．2D．3解析：把x＝2，y＝1代入方程组ax＋by＝7，ax－by＝1，得2a＋b＝7，2a－b＝1，解得a＝2，b＝3.∴a－b＝2－3＝－1.故选A.答案：A5．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，则根据题意可列方程组为()A.3x＋5y＝1200，x＋y＝16B.360x＋560y＝1.2，x＋y＝16C.3x＋5y＝1.2，x＋y＝16D.360x＋560y＝1200，x＋y＝16解析：1200米＝1.2千米，3千米/时＝360千米/分，5千米/时＝560千米/分，由小颖所走的路程为1.2千米，可列方程360x＋560y＝1.2，由小颖所用的时间为16分钟，可列方程x＋y＝16，故可列方程组360x＋560y＝1.2，x＋y＝16.故选B.答案：B6．如果方程2x2k－1－3＝1是关于x的一元一次方程，那么k的值是1.解析：根据题意，得2k－1＝1，解得k＝1.7．解方程组：4x－4y＝31－y＋2，x2－2＝－y3.解：原方程组整理，得4x－y＝5，①3x＋2y＝12.②①×2＋②，得11x＝22.解得x＝2.把x＝2代入①，得4×2－y＝5.解得y＝3.所以原方程组的解为x＝2，y＝3.8．为丰富学生的课余生活，某班准备买5副球拍和若干盒(不少于5盒)的乒乓球，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．问：(1)若购买的乒乓球为x盒，请分别写出在两家店购买这些乒乓球和乒乓球拍时应该支付的费用？(2)当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两店所需支付的费用一样？(3)当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？解：(1)甲店：30×5＋(x－5)×5＝5x＋125；乙店：30×5×0.9＋5x×0.9＝4.5x＋135.答：在甲店购买应该支付(5x＋125)元，在乙店购买应该支付(4.5x＋135)元．(2)根据题意，得5x＋125＝4.5x＋135，解得x＝20.答：当购买乒乓球20盒时，在甲、乙两店所需支付的费用一样．(3)当购买15盒乒乓球时，在甲店购买．因为在甲店应该支付5×15＋125＝200(元)，在乙店应该支付4.5×15＋135＝202.5(元)，200202.5；当购买30盒乒乓球时，在乙店购买．因为在甲店应该支付5×30＋125＝275(元)，在乙店应该支付4.5×30＋135＝270(元)，275270.考点训练一、选择题(每小题3分，共36分)1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于(B)A．2B．－2C．6D．－6解析：根据题意，得x＋4＝2，解得x＝－2.故选B.2．已知方程组2x＋y＝4，x＋2y＝5，则x＋y的值为()A．－1B．0C．2D．3解析：2x＋y＝4，①x＋2y＝5，②方法一：由①，得y＝4－2x③.将③代入②，得x＋2(4－2x)＝5.去括号，得x＋8－4x＝5.解得x＝1.将x＝1代入③，得y＝2.∴x＋y＝3.故选D.方法二：①＋②，得3x＋3y＝9，∴x＋y＝3.故选D.答案:D3．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“六一”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元，若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为()A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87解析：根据题意铅笔卖得(1.2×0.8x)元，圆珠笔卖得[2×0.9×(60－x)]元，所以可得1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87.故选B.答案：B4．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的一个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球质量为()图①图②A．10克B．15克C．20克D．25克解析：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，根据题意，得m＝n＋40.设被移动的玻璃球的质量为x克，根据题意，得m－x＝n＋x＋20，x＝12(m－n－20)＝12(n＋40－n－20)＝10.故选A.答案：A5．(2014·襄阳)若方程mx＋ny＝6的两个解是x＝1，y＝1，x＝2，y＝－1，则m，n的值为(A)A．4,2B．2,4C．－4，－2D．－2，－4解析：把x＝1，y＝1和x＝2，y＝－1分别代入mx＋ny＝6，得m＋n＝6，2m－n＝6.解得m＝4，n＝2.故选A.6．(2014·宿迁)已知x＝2，y＝1是方程组ax＋by＝5，bx＋ay＝1的解，则a－b的值是(