1.8最小二乘法

§8最小二乘估计1.最小二乘法的定义与应用(1)定义:如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:___________________________________________.使得上式达到_______的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2最小值(2)应用:利用最小二乘法估计时,要先作出数据的_____图.如果_______呈现出线性关系,可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果_______呈现出其他的曲线关系,则要利用其他的工具进行拟合.散点散点图散点图2.线性回归方程(1)回归:一种统计方法,它通过计算变量之间的_________进而估计它们之间的联系公式.(2)用表示用表示由最小二乘法可以求得b=_________________________,a=________,这样得到的直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_____.相关系数xy12nxxx,n12nyyy,n1122nn222212nxyxyxynxyxxxnxybx系数注.关于线性回归方程的四点说明(1)求线性回归方程的前提条件:当两变量线性相关时,求出的线性回归方程才有实际意义.(2)数据越多,拟合效果越好,相关程度越高,估计越精确.(3)选择的数据不同,得到的回归方程也可能不同,这是由样本的随机性造成的.(4)线性回归方程过定点x,y.1.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是__________.(2)散点图中n个点的中心是__________.x,y202.设有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x增加一个单位时()A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位【解析】选C.3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表根据上表可得线性回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为__________万元.广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954解析：线性回归方程过定点x,y.42357x,4249263954y42,442=9.4×+a,解得a=9.1,72故线性回归方程为y=9.4x+9.1,令x=6得y=65.5(万元).4.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:则y对x的线性回归方程为()A.y=x-1B.y=x+1C.y=88+xD.y=176父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)17517517617717712选C5.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表(1)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程.(2)当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.商店名称ABCDE销售额x(千万元)35679利润额y(百万元)23345【解析】(1)根据题干中表格可计算出其他数据如表：ixiyixiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112x6y3.4，，2ixb=a=3.4-×6=0.4,所以线性回归方程为:y=0.5x+0.4.(2)当销售额为4千万元时,利润额为:y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).112563.4101.200566202126.假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:x23456y2.23.85.56.57.0(1)请画出上表数据的散点图,判断它们是否具有线性相关关系;若线性相关,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.(2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测使用年限为10年时,维修费用是多少?【解题】明步骤，得高分7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:①求线性回归方程y=bx+a,其中,b=-20,②预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从①中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568aybx.①由题可得,所以a==80+20×8.5=250,从而线性回归方程为y=-20x+250.②设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.x8.5,y80.ybx