《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N使得对于nN时的一切n恒有|xna|则称a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}收敛于a记为axnnlim或xna(n)（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当0xM）有定义，如果存在常数A对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数（或存在X）使得当x满足不等式0|xx0|时（或当xX时）恒有|f(x)A|那么常数A就叫做函数f(x)当0xx（或x）时的极限记为Axfxx)(lim0或f(x)A(当xx0)（或lim()xfxA）类似的有：如果存在常数A对0,0,当00:xxxx（00xxx）时，恒有()fxA，则称A为()fx当0xx时的左极限（或右极限）记作00lim()(lim())xxxxfxAfxA或显然有000lim()lim()lim())xxxxxxfxAfxfxA如果存在常数A对0,0,X当()xXxX或时，恒有()fxA，则称A为()fx当x（或当x）时的极限记作lim()(lim())xxfxAfxA或显然有lim()lim()lim())xxxfxAfxfxA2、极限的性质（1）唯一性若axnnlim，limnnxb，则ab若0()lim()xxxfxA0()lim()xxxfxB，则AB（2）有界性（i）若axnnlim，则0M使得对,nN恒有nxM（ii）若0lim()xxfxA，则0M当0:0xxx时，有()fxM（iii）若lim()xfxA，则0,0MX当xX时，有()fxM（3）局部保号性（i）若axnnlim且0(0)aa或则NN，当nN时，恒有0(0)nnxx或（ii）若0lim()xxfxA，且0(0)AA或，则0当0:0xxx时，有()0(()0)fxfx或3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{},{},{}nnnxyz若①0,nN当0nn时有nnnyxz②limlimnnnnyza，则limnnxa给定函数(),(),()fxgxhx，若①当00(,)xUxr（或xX）时，有()()()gxfxhx②00()()lim()lim()xxxxxxgxhxA，则0()lim()xxxfxA（ii）单调有界准则给定数列{}nx，若①对nN有11()nnnnxxxx或②()Mm使对nN有()nnxMxm或则limnnx存在若()fx在点0x的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim()xxfx（或0lim()xxfx）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim()xxxfxA，0()lim()xxxgxB则(i)0()lim[()()]xxxfxgxAB(ii)0()lim[()()]xxxfxgxAB(iii)0()()lim()xxxfxAgxB（0B）（2）设（i）00()lim()xxugxgxu且（ii）当00(,)xUx时0()gxu（iii）0lim()uufuA则00lim[()]lim()xxuufgxfuA5、两个重要极限（1）0sinlim1xxx()0sin()lim1()uxuxuxsinlim0xxx，1limsin1xxx，01limsin0xxx（2）1lim1xxex)()(1lim1;()xuuxeux10lim(1)xxxe()01()lim1();vxxvvxe6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim()0xxxx，即对0,0,当0:0xxx（或xX）时有()x，则称当0()()xxxx或，无穷小量（2）若0()lim()xxxfx即对0,0(0),MX或当0:0xxx（或xX）时有()fxM则称当0()()xxxfx或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim()()(),lim()0xxxxxxfxAfxAxx其中（2）00()()1lim()0()0lim()xxxxxxfxfxfx（）（3）00()()1lim()lim0()xxxxxxgxgx（4）0()lim()0,xxxfxM且当0:0xxx（或xX）时有()gxM，则0()lim[()()]xxxfxgx（5）0()lim()00,xxxfxM且当0:0xxx（或xX）时有()gxM，则0()lim[()()]0xxxfxgx（6）0()lim()0(1,2,,)kxxxfxkn则01()lim()0,nkxkxxfx01()lim()0,nkxkxxfx8、无穷小量的比较000()()()lim()0,lim()0,lim()0xxxxxxxxxfxgxx若（1）0()()lim0,()xxxfxCgx，则称当0()xxx或时，()fx与()gx是同阶无穷小。（2）0()()lim1()xxxfxgx，则称当0()xxx或时，()fx与()gx是等价无穷小，记作()()fxgx（0()xxx或）。（3）0()()lim0()xxxfxgx，则称当0()xxx或时，()fx是()gx是高阶无穷小，记作()(())fxogx（0()xxx或）。（4）0M00(,)xUx（或xX），有()()fxMgx，则记()(())fxOgx（0()xxx或）（5）0()()lim0(0)[()]kxxxfxCkx，则称当0()xxx或时，()fx是()x是k阶无穷小，9、常用的等价无穷小当0x时，有（1）sin~~arcsin~tan~arctan~ln(1)~1,xxxxxxxe（2）211cos~.2xx（3）1~ln(01),xaxaa（4）(1)1~xx10、函数连续的概念（1）函数连续的定义设()yfx在点0x及其邻域()Ux内有定义，若（i）0000limlim[()()]0xxyfxxfx或（ii）00lim()()xxfxfx或（iii）0,0,当0:xxx时，有0()().fxfx则称函数()yfx在点0x处连续设()yfx在点00(,]xx内有定义，若00lim()()xxfxfx，则称函数()yfx在点0x处左连续，设()yfx在点00[,)xx内有定义，若00lim()()xxfxfx，则称函数()yfx在点0x处右连续若函数()yfx在(,)ab内每点都连续，则称函数()yfx在(,)ab内连续若函数()yfx在(,)ab内每点都连续，且lim()()xafxfa，lim()()xbfxfb，则称函数()yfx在[,]ab上连续，记作()[,]fxCab（2）函数的间断点设()yfx在点0x的某去心邻域()oUx内有定义若函数()yfx：（i）在点0x处没有定义（ii）虽然在0x有定义但0limxxf(x)不存在(3)虽然在0x有定义且0limxxf(x)存在但0limxxf(x)f(0x)则函数f(x)在点0x为不连续而点0x称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点0x为()yfx的间断点，（1）000lim()lim()()xxxxfxfxfx，则称点0x为()yfx的可去间断点，若（2）00lim()lim()xxxxfxfx，则称点0x为()yfx的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3）00lim()lim()xxxxfxfx或则称点0x为()yfx的无穷型间断点，（4）若00lim()lim()xxxxfxfx或不存在且都不是无穷大，则称点0x为()yfx的振荡型间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算（1）连续函数的四则运算若函数()fx()gx在点0x处连续则0()()(),()(),(()0)()fxfxgxfxgxgxgx在点0x处也连续（2）反函数的连续性，若函数()yfx在区间xI上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数1()xfy在其对应的区间{(),}yxIyyfxxI上也单调增加（或单调减少）且连续。（3）复合函数的连续性设函数[()]yfgx由函数(),()yfuugx复合而成，0()fgUxD，若（1）00000lim()(lim()())xxxxgxugxgxu或（2）00lim()()uufufu则000lim[()][lim()]()xxxxfgxfgxfu（或0000lim[()][lim()][()]()xxxxfgxfgxfgxfu）（4）初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5）闭区间上连续函数的性质（i）有界性若()[,]fxCab，则()yfx在[,]ab上有界（ii）最大值、最小值定理，若()[,]fxCab，则()yfx在[,]ab上一定有最大值和最小值（iii）零点性若()[,]fxCab，且()()0fafb则至少存在一点(,)ab使得()0f（iv）介值性若()[,]fxCab，且()()fafb，是介于(),()fafb之间的任一值，则至少存在一点(,)ab使得()f