《高等数学》-各章知识点总结——第6章

1第6章微分方程总结1.可分离变量微分方程一阶微分方程y(x,y)或M(x)N(y)dxP(x)Q(y)dy0能写成g(y)dyf(x)dx两边积分可得通解。2.齐次微分方程dyy()dxx，令xyu即yux有)(udxduxu得xdxuudu)(。3.一阶线性微分方程（1）齐次线性0)(yxPdxdy用分离变量法可求得通解P(x)dxyCe。（2）非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy由齐次方程常数变易法可得通解])([)()(CdxexQeydxxPdxxP。4.伯努利方程nyxQyxPdxdy)()((n01)，以yn除方程的两边得)()(1xQyxPdxdyynn令zy1n得线性方程)()1()()1(xQnzxPndxdz5.可降阶的高阶微分方程（1）y(n)f(x)：积分n次1)1()(Cdxxfyn21)2(])([CdxCdxxfyn，（2）yf(xy)：设yp(x),则方程化为pf(xp)。（3）yf(yy)：设yp(y),dydppdxdydydpdxdpy，原方程化为),(pyfdydpp6.二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数齐次线性微分方程：ypyqy0特征方程rprq20的两个根rr12,微分方程0yqypy的通解两个不相等的实根21,rrxrxrececy2121两个相等的实根21rr)(211xcceyxr一对共轭复根ir2,1)sincos(21xcxceyx（2）二阶常系数非齐次线性微分方程：ypyqyf(x)2先求对应齐次方程ypyqy0的通解，再加上非齐次方程的一个特解；（a）f(x)Pm(x)ex型,特解：y*xkQm(x)ex其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。(b)f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型，特解：y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式mmax{ln}而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。