《高等数学》-各章知识点总结——第4章

第1页共2页第4章不定积分总结1、原函数如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一xI都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数2、原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数F(x)使对任一xI都有F(x)f(x)3、不定积分在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分记作dxxf)(4、基本积分表(1)Ckxkdx(k是常数)(2)Cxdxx111(3)Cxdxx||ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxdxxtanseccos122(9)Cxxdxdxxcotcscsin122(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc5、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([dxxfkdxxkf)()((k是常数k0)6、换元积分法（1）第一类换元法CxFCuFduufxdxfdxxxf)]([)()()()]([)()]([（2）第二类换元法设x(t)是单调的、可导的函数并且(t)0又设f[(t)](t)具有原函数F(t)则有换元公式CxFtFdtttfdxxf)]([)()()]([)(1其中t(x)是x(t)的反函数（i）22xatataacossin222dxacostdt(ii)22axtaa222tanasectdxasec2tdt(iii)22ax222secata1sec2taatant第2页共2页(16)Cxxdx|cos|lntanCxxdx|sin|lncot(18)Cxxxdx|tansec|lnsec(19)Cxxxdx|cotcsc|lncsc(20)Caxadxxaarctan1122(21)Caxaxadxax||ln21122(22)Caxdxxaarcsin122(23)Caxxaxdx)ln(2222(24)Caxxaxdx||ln22227、分部积分法vdxuuvdxvu或vduuvudv适用分部积分法xdxxcosdxxexdxexx2xdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdx3sec2222duedxedxxeuxx2222dxeexdexdxexxxxx8、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式用于三角函数有理式积分的变换:把sinx、cosx表成2tanx的函数然后作变换2tanxu222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx变换后原积分变成了有理函数的积分简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去