数学方法论

从高考数学想到的上了大学以来一直都以为高中数学早已离我而去，再也不用翻开那些有着痛苦回忆的试题。可是课堂上老师的一句话却让我恍然大悟，老师说：不要以为高考与你们无关，只要高考还考数学，高考就一直与你们有关。我突然明白，将来做老师的我们，虽然现在每天学着高代，数分这些似乎和高中初等数学没什么关系，但是将来站在讲台上的我们还是要精通高中数学。不仅这样，关注高考也就是关注我们国家教育的改革。高代老师一直在强调，我们国家的数学比国外的数学精英教育落后了五十年，而我们中国人还一直在沾沾自喜到中国人都很聪明，数学很强。在国外，数分高代这些基础课早就在高中时代就被学生掌握了，而我们国家的学生只有到大学的时候才开始接触。而这个时候，我们的思维模式都基本定型。很多抽象化的概念的理解以及严密的逻辑思维的塑造已经变得很困难。这也就是很多自认为高中数学很好的学生到了大学才发现自己的数学一塌糊涂。高中的教育方式已经把我们变成了做题的工具，可以说多做题，把题目的惯用的方法背会，那么数学就可以考个不错的成绩。而数学是什么？记得老师在课堂上讲过康拓说过数学是思考的充分自由。我们连思考都没有，又从何谈起充分自由!更糟糕的是，由于大部分高中对于升学率的追求，高中时代几乎所有的老师都是考什么讲什么，导致大学学习和高中学习脱节。比如说高中因为不考和差化积和积化和差，我们脑海里对这一块内容就是一片空白，而大学老师以为我们已经学会，在数分学习积分的时候只是随便一说；还有复数的一些基本性质高中也没有仔细讲解，只要会一些简单的运算就足以应付高考了，而高代课堂上一旦用到一些简单的复数的性质比如老师就必须停下来再次解释。这里我特别挑选了北京市和江苏省的高考试题（江苏省今年的高考试题网上相传非常难）尝试着做了一次，从中也有一些体会拿出来分享。一、关于极坐标【北京卷选择（5）】（本小题满分5分）极坐标方程（p-1）（）=0（p0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线[解析]满足方程（p-1）（）=0，只要p-1=0或者=0。p-1=0的普通方程就是x2+y2=1即一个圆。=0的普通方程就是x轴的负半轴。因此答案选C。【江苏卷选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。[解析]解：22cos，圆ρ=2cosθ的普通方程为：22222,(1)1xyxxy，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：340xya，又圆与直线相切，所以22|3140|1,34a解得：2a，或8a。其实这些题目都是非常简单的极坐标的题目，只是高中时我们没有很多的练习，因此做起来会感觉陌生。而这也导致大学在学习极坐标的时候遇到了很大的困难。记得刚上大一是，数分课上老师给我们讲一些非常漂亮的曲线，比如星形线直角坐标方程：x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)参数方程：x=a*(cost)^3,y=a*(sint)^3（t为参数）还有阿基米德螺线，极坐标方程为：r=aθ。但是大家对极坐标都模棱两可，老师又抽出两节习题课的时间来讲极坐标。极坐标不熟练，自然对坐标转换也很陌生。这些在学习三元函数积分的时候都是障碍，在做坐标转换的时候总是出错或者干脆不知道在做什么，只是机械地带入数字然后计算。在基础物理课上也常常用到极坐标，这样会使解决一些题目的时候更方便些，比如在计算球体的向心加速度。但是因为高中接触得太少，导致了大学学习中出现一些不必要的困难。二、关于复数【江苏卷填空（2）】（本小题满分5分）设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______。[解析]由z(2-3i)=6+4i的z(2-3i)*z—（2+3i）=（6+4i）*（6-4i）。得到z—z=4。z的模为2。网上的算法是。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。就是对复数性质的应用。【北京卷填空（9】（本小题满分5分）（9）在复平面内，复数21ii对应的点的坐标为。[解析]这道题非常简单，只要计算一下就可以得到（-1,1）。复数性质的应用也是我们大学学习的盲点。相信包括我在内的很多同学在高中的时候都忽略了复数的性质，因为高考试题都是像北京卷那样只要会计算就可以了，甚至连稍微有一点难度的像江苏卷这样计算复数摸的题目都不会出现。但是复数的应用在高代学习中还是比较多地应用到的，比如在证明方程的解集中复数都是成对出现（即如果一个复数时方程的解那么它的共轭复数也是方程的解），在证明实对称矩阵的特征值一定是实数的时候都要用到复数的性质，这也是大学和高中衔接的一个断点。三、关于矩阵【江苏卷选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=100k,N=0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。[解析]解：由题设得0010011010kkMN由00220010001022kk，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是||k，则由题设知：||212k。所以k的值为2或-2。江苏卷是唯一出现矩阵的试卷，其余省市都没有矩阵出现。而且全国大部分地区还是不会把矩阵列入到学习的范围之内。我感觉高中学习一点矩阵的知识非常重要，哪怕是矩阵里面最基本的加法和乘法运算。这样至少可以让高中生对矩阵有基本的认识，在升入大学之后学习矩阵的时候不会那么陌生。仔细一看，我们这一年学习的高代几乎都是在和矩阵在打交道。从一开始的解线性方程组，求解行列式都后来线性变换的矩阵，求解特征值和特征向量，再到二次型等等。学习中困难最大的不是后面的这些东西，而是最最开始关于矩阵和行列式的运算，而这方面在老师看来又非常简单自然不会花很多的时间去讲解。这样一开始，很多同学都很迷惑。怎么乘法突然变成了那样，怎么一个方阵还会有一个具体的数值？在一开始的时候感觉压力特别大，什么都学不会，就让很多同学丧失了学好数学的信心。这当中不乏很多高中时数学的佼佼者。如果在高中的时候能够适当地学习一些矩阵的知识自然就可以避免这些困难。四、关于向量空间【北京卷20】（本小题满分13分）已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)nnSXXxxxxinn…，…对于12(,,,)nAaaa…，12(,,,)nnBbbbS…，定义A与B的差为1122(||,||,||);nnABababab…A与B之间的距离为111(,)||idABab（Ⅰ）证明：,,,nnABCSABS有，且(,)(,)dACBCdAB;（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)nABCSdABdACdBC三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设PnS，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：d（P）≤2(1)mnm.[解析]证明：（I）设12(,,...,)nAaaa，12(,,...,)nBbbb，12(,,...,)nCcccnS因为ia，0,1ib，所以0,1iiab,(1,2,...,)in@[e-mail]从而1122(||,||,...,||)nnnABabababS又1(,)||||||niiiiidACBCacbc由题意知ia，ib，ic0,1(1,2,...,)in.当0ic时，|||||||||iiiiiiacbcab;当1ic时，|||||||(1)(1)|||iiiiiiiiacbcabab所以1(,)||(,)niiidACBCabdAB(II)设12(,,...,)nAaaa，12(,,...,)nBbbb，12(,,...,)nCcccnS(,)dABk，(,)dACl，(,)dBCh.记(0,0,...,0)nOS，由（I）可知(,)(,)(,)dABdAABAdOBAk(,)(,)(,)dACdAACAdOCAl(,)(,)dBCdBACAh所以||(1,2,...,)iibain中1的个数为k，||(1,2,...,)iicain的1的个数为l。设t是使||||1iiiibaca成立的i的个数，则2hlkt。由此可知，,,klh三个数不可能都是奇数，即(,)dAB,(,)dAC,(,)dBC三个数中至少有一个是偶数。（III）2,1()(,)ABPmdPdABC,其中,(,)ABPdAB表示P中所有两个元素间距离的总和，@[e-mail]设P种所有元素的第i个位置的数字中共有it个1，imt个0则,(,)ABPdAB=1()niiitmt由于it()imt2(1,2,...,)4min所以,(,)ABPdAB24nm从而222,1()(,)42(1)ABPmmnmmndPdABCCm这道题给我的第一感觉是要Sn是n维向量空间，首先要设向量空间的一组基，因为规定了xi是0和1中的某个数，所有这组基一定设为规范正交基。但是，后面的题目是用不到的。还是用不等式加上分析解出来。自我感觉这道题的解法很技巧还是决定拿出来分享一下。记得在高中的时候最后一题都是不等式，而且基本都是放弃就不做了。大学里不等式也是很难的一部分。想到上堂课苏教授专门就这个大学期间的不等式做了一个串讲感觉受益匪浅。可见不等式是贯穿我们学习数学始末的一个重要部分。上大学两年了，经过这几年的学习，我发现了：同样的内容却从不同角度研究的更深更广了；新概念越来越多了；计算量越来越少了。这样比较看来，差异着实不小，但从一个人学习数学的整体经历来看，却是一个与小学、中学相连贯、相延续的必然过程，到了大学，书本上和老师对函数、极限、导数这样在高中课本中出现过的名词又做了新的意义上的诠释。又要求我们更深层次地去理解。上了大学后，我发现老师不再一味地要我们去做题目，而是反反复复告诉我们要仔细看书。刚开始我很不理解：感觉到不做题而是看书没有什么成就感。后来慢慢发现，我们现在所学的任何一个数学概念、定理和公式都是历史上所有数学家的智慧精华所在，要想真正做到深刻理解和灵活运用，就要知道这个定理的诞生史，仔细研究某个经典结论的证明过程，并不拘泥于只牢记这个结论。你会发现这些证明过程就像一件件精雕细琢的艺术珍品，是那么耐人寻味、引人深思、发人深省！你会由衷的发出感叹：如何会想到这种方法？！如何如此巧妙的得出这种结论？！如此繁琐的证明过程需要多么强的逻辑推理能力……现在我理解了为什么会有人忍不住地赞叹：“这个证明多美啊!”