空间向量法解决立体几何问题

第1页共8页空间向量与立体几何姓名知识点归纳垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平行转化新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆线线平行线面平行面面平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆垂直转化新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆线线垂直线面垂直面面垂直新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆////ababababaa//////aababa////////////baba////,//,baObabababa//,//////aa//'//,'//',',bbaabaObaba//////bacbca//////aa//anamaGnmnm,,babaabaab,,aaaccbbacba,,,accbbaOcba,POaOAaaAPOAPA.,,于斜交于abbaacnabaababbabaabca'b'ambacaaabbabaOPOAooOG面面垂直线面垂直线线垂直面面平行线面平行线线平行直线与平面的平行和垂直关系的证明思路知识梳理1．空间直角坐标系：在空间选定一点O引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；作空间直角坐标系Oxyz时，一般使135xOy（或45），90yOz；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，第2页共8页zAB称这个坐标系为右手直角坐标系。规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系．2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz叫A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．３．空间两点间距离若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212212212zzyyxxAB特别地，Ａ到原点的距离212121zyxAO（2）夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．空间向量法解决立体几何问题一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量：把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α求平面的法向量的坐标的步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组212121(,,)ABxxyyzzxy11122200xxyyzzxxyyzz第3页共8页abnaLnLa第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量练习：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1,D1中，E,F分别为棱AB,BC的中点，试在棱BB上找一点M,使得D1M平面EFB1二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥b(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L不在α.内①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1练习：1：两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交与AB,090EBC.M,N分别为BD,AE上的点，且AN=DM,（1）求证：MN//平面EBC;(2)求MN长度的最小值ab第4页共8页2：在正方体ABCD-A1B1C1,D1中，O为AC和BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD3.在正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是1,BBCD的中点，求证1DF平面ADE．(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求证：平面A1BC1//平面ABD12.求空间中的角(1)两异面直线的夹角:利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.练习：1：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M为CC1的中点，Q为BC的中点，点P在A1B1上，求直线PQ与直线AM所成的角2：棱长均相等的四面体A—BCD中，E,F分别是棱AD,BC的中点，连结AF,CE所成的角(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ=2a,n或θ=a,n2第5页共8页BH例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角练习：1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1D1的中点，求A1B1与平面A1EF所成的角2：在三棱锥P—OCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=2,PC=4，D为PC的中点，求OD与平面PBC所成的角3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.==例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求证：（1）平面A1BC1和平面ABD1的距离（2）求B1到平面A1BC1的距离例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.基础训练：1.（2009广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④a2|,cos|||sin||||nABABABAH||||||||nABnABAB||||nnABnA2第6页共8页2、（2009浙江）设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若,l，则lB．若//,//l，则lC．若,//l，则lD．若//,l，则l3(09山东)已知αβ表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①若//,//，则//②若,//m，则m③若,//mm，则④若//,mnn，则//m其中真命题的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③5（2011四川）.l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A）l1⊥l2,l2⊥l3l1∥l3(B)l1⊥l2,l2∥l3l1⊥l3（C）l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面6（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点7.（2011北京）如图，正方体1111ABCD-ABCD的棱长为2，动点E、F在棱11AB上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，1AE=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关；（B）与x，y都无关；[来源:学科网ZXXK]（C）与x有关，与y无关；（D）与y有关，与x无关；8（2011北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=2,CE=EF=1（Ⅰ）求