习题九

习题9A组1．为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得其甲醇浓度X与相应的“缩醇化度”Y数据如下：X18202224262830Y26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(1)作散点图；(2)求样本相关系数；(3)建立一元线性回归方程；(4)对建立的回归方程作显著性检验(0.05)。解：（1）散点图略（2）由样本数据可以计算211211168,()112,202.94,()8.4931nnixxiiinniyyiiixlxxylyy1()()29.6,nxyiiilxxyy0.9597xyxxyylrll。（3）101ˆˆˆ0.2643,22.6486xyxxlyxl则ˆ22.64860.2643yx（4）0111:0,:0HH用r检验法，0.05(5)0.7545r，因为0.050.9597(5)0.7545xyxxyylrrll所以，拒绝0H，认为XY与线性相关。2．现收集了16组合金钢中的碳含量X及强度Y的数据，求得：0.125,45.7886,0.3024,25.5218,2432.4566xxxyyyxylll，（1）试建立一元线性回归方程01ˆˆˆyx；（2）对建立的回归方程作显著性检验(0.05)；（3）求在0.15x时对应的y的0.95的预测区间。解：（1）由样本数据可以计算101ˆˆˆ84.3975,35.2389xyxxlyxl则ˆ35.238984.3975yx（2）0111:0,:0HH用r检验法，计算0.941xyxxyylrll另一方面，查表0.05(14)0.4973r，因为0.050.941(14)0.4973xyxxyylrrll所以，拒绝0H，认为XY与线性相关。（3）在0.15x时，0ˆ35.238984.39750.1547.8985y置信度为95%的预测区间为22000011ˆˆˆˆ()(2),()(2)ySxtnySxtn由201(0.150.125)()11.06461.0318160.3024Sx.20.9751(2)(14)2.1448tnt，221ˆEyyxxSll2432.4566-84.39752×0.3024=278.482278.48ˆ19.89144.46(2)14ESn置信度为95%的预测区间为：38.0287,57.76833．已知营业税税收总额Y与社会商品零售额X有关。为了能从社会商品零售总额去预测税收总额，需要了解两者之间的关系。现收集了如下数据：(单位：亿元)X142.08177.3204.68242.68316.24341.99332.69389.29453.4Y3.935.967.859.8212.515.5515.7916.3918.45（1）画散点图；（2）建立一元回归方程；（3）对建立的回归方程作显著性检验(0.05)；（4）若已知某年社会商品零售额为300亿元，试给出营业税税收总额的置信度为0.95的预测区间。解：（1）散点图略；（2）一元回归方程：ˆ2.260.0487yx（3）方差分析表来源平方和自由度均方差F比p值回归残差203.47.9317203.41.13179.650.00总计211.338说明回归方程是显著的。（4）预测区间[9.688,14.999]。4．设有如下的线性模型：410431032102110122yyyy,其中i～),0(2N（4,3,2,1i），且相互独立。（1）求参数0、1的最小二乘估计0ˆ、1ˆ；（2）求0ˆ、1ˆ的分布；（3）求01ˆˆcov(,)。解：（1）112023134412111211yyyy4011234111ˆˆ(),(22)410iiyyyyy（2）220011ˆˆ~(,),~(,)410NN（3）01ˆˆcov(,)=05．设曲线函数形式为（1）1xyabe；（2）/bxyae；问能否找到一个变换将它们化为一元线性回归的形式，若能，试给出；若不能，说明理由。解：（1）能，令1,xuevy，变换后的函数形式为vabu；（2）能，令1,lnuvyx，变换后的函数形式为lnvabu；B组1.证明一元回归函数01yx中1的估计值11221ˆniiiniixynxyxnx，能改写成下列三种形式：（1）1121()()ˆ()niiiniixxyyxx；（2）1121()ˆ()niiiniixxyxx；（3）1121()ˆ()niiiniiyyxxx。2.证明回归直线01ˆˆˆyx过点(,)xy。3.如果11221ˆniiiniixynxyxnx，01ˆˆyx，01ˆˆˆyx成立，则下列两式恒成立。（1）1ˆ()0niiiyy；（2）1ˆ()0niiiiyyx。4．在一元线性回归问题中，试决定系数c，使统计量2011ˆˆ()niiicYx是2的无偏估计量。解答：12cn。5．为了检验X射线的杀菌作用，用200kv的X射线照射杀菌，每次照射6min，照射次数为X，照射后所剩细菌数为Y，下面给出一组试验数据结果：X12345678910Y783621433431287251175154129103X11121314151617181920Y725043312820161297根据经验知Y关于X的曲线回归方程形式可能有：（1）ˆˆˆbxyae；（2）ˆˆˆlnyabx；（3）ˆˆˆyabx；试给出具体的回归方程，并求对应的决定系数22121ˆ()1()niiiniiyyryy、剩余标准差21ˆ()2niiiyysn的值。解：（1）因为ˆˆˆlnlnyabx，令0ˆˆln,lnvya，计算665,164.4735xxxvll，20,10.5,4.3613nxvˆln6.95820.2473yx，即0.2473ˆ1051.7331xye2r0.9919,s20.596（2）ˆ754.96270.32lnyx；2r0.973138.116s（3）2ˆ(34.26057.4637)yx，2r0.9842s28.7933