数值分析练习题附答案

1目录一、绪论-------------------------------------------------------------------------------------2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LULDLTGGT--------------------3-6二、线性方程组迭代法-----------------------------------------------------------------7-10三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代----------------------11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法-----------------14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------23-24九、数值积分-----------------------------------------------------------------------------25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进-----------------------------------30-32十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------33-352绪论1-1下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X1=5.420,X2=0.5420,X3=0.00542,X4=6000,X5=0.6×105注：将近似值改写为标准形式X1=（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101即n=4,m=1绝对误差限｜△X1｜=｜X*1-X1｜≤12×10m-n＝12×10-3相对误差限｜△rX1｜=｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜=12×10-3/5.4201-2为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?1-3求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有4位有效数字(√783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=7833线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0X2=-1X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解Ly＝Pb其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即Ly＝Pb等价为(11/211/23/51)(𝑦1𝑦2𝑦3)＝(111)(465)4解得y1=4y2=4y3=35再用回代解Ux＝y，得到结果x即Ux＝y等价为(2115/23/23/5)(𝑥1𝑥2𝑥3)＝(𝑦1𝑦2𝑦3)＝(443/5)解得x1=1x2=1x3=1即方程组Ax=b的解为x＝(111)2-3对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422)，b＝(123)解：（注：课本P26P27根平方法）设L=(lij)，D=diag(di)，对k=1,2,…,n,其中𝑑𝑘=𝑎𝑘𝑘－∑𝑙𝑘𝑗2𝑘−1𝑗=1𝑑𝑗𝑙𝑖𝑘=(𝑎𝑖𝑘−∑𝑙𝑖𝑗𝑙𝑘𝑗𝑘−1𝑗=1𝑑𝑗)/𝑑𝑘即𝑑1=𝑎11－∑𝑙1𝑗20𝑗=1𝑑𝑗=16－0=16因为𝑙21=(𝑎21−∑𝑙2𝑗𝑙1𝑗0𝑗=1𝑑𝑗)/𝑑1=𝑎21/𝑑1=416=14所以𝑑2=𝑎22－∑𝑙2𝑗21𝑗=1𝑑𝑗=5－(14)2𝑑1=4同理可得𝑑3=9即得D=(1649)同理𝑙11=(𝑎11−∑𝑙𝑖𝑗𝑙1𝑗0𝑗=1𝑑𝑗)/𝑑1=1616=1=𝑙22=𝑙33𝑙21=(𝑎21−∑𝑙2𝑗𝑙1𝑗0𝑗=1𝑑𝑗)/𝑑1=416=14𝑙31=(𝑎31−∑𝑙3𝑗𝑙1𝑗0𝑗=1𝑑𝑗)/𝑑1=816=12𝑙32=(𝑎32−∑𝑙3𝑗𝑙2𝑗1𝑗=1𝑑𝑗)/𝑑2=−4−12×14×164=−64=－325即L=(114112−321)LT=(114121−321)即LDLT分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GGT分解：A=(4122−33)(4122−33)LDLT分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)由(114112−321)(𝑦1𝑦2𝑦3)＝(123)，得(𝑦1𝑦2𝑦3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(𝑥1𝑥2𝑥3)＝(0.250.8751.7083)，得(𝑥1𝑥2𝑥3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4用追赶法求解方程组：6解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(𝑦1𝑦2𝑦3𝑦4𝑦5)＝(100000200)，得(𝑦1𝑦2𝑦3𝑦4𝑦5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)7线性方程组解法（迭代法）2-1设线性方程组{4x1−x2+2x3=1−x1−5x2+x3=22x1+x2+6x3=3（1）写出Jacobi法和SOR法的迭代格式（分量形式）（2）讨论这两种迭代法的收敛性（3）取初值x(0)=(0，0，0)T，若用Jacobi迭代法计算时，预估误差｜｜x*-x(10)｜｜∞（取三位有效数字）解：（1）Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为Jacobi法迭代格式SOR（2）因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx8（3）由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有2-2设方程组为{5x1+2x2+x3=−12−x1+4x2+2x3=202x1−3x2+10x3=3试写出其Jacobi分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。解：Jacobi迭代格式为：故Jacobi迭代矩阵为：取x(0)=(0,0,0)t,e=10-3,终止准则：‖x(k)-x(k-1)‖eX(14)＝(−3.99972.99981.9998)113.05.075.0175.0110)0()1()10(*xxBBxxk10310351)323(10152141)220(415125152)212(51)(2)(1)(2)(1)1(3)(3)(1)(3)(1)1(2)(3)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx2105511042310510JB92-3设方程组为{5x1+2x2+x3=−12−x1+4x2+2x3=202x1−3x2+10x3=3试写出Gauss-Seidel迭代格式。解：Gauss-Seidel迭代格式为：2-4讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中A=(30−2021−212)解：Jacobi迭代法迭代矩阵B=(002/300−1/21−1/20)(1)()()()()12323(1)(1)()(1)()21313(1)(1)(1)(1)(1)3121212112(122)5555111(202)54423311(323)1051010kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx102-5给定方程组{2x+y+4z=6x+4y+z=33x+y+z=2试建立一个收敛的迭代格式，并说明收敛的理由。解：可建立如下形式的迭代格式因为迭代矩阵为M=(0−13−13−140−14−12−140)‖𝑀‖∞=34＜1所以此迭代法收敛11非线性方程数值解法（二分法不动点迭代法）3-1用二分法求方程xsinx-1=0在[0，2]内的根的近似值，误差不超过10-4解：令f(x)=xsinx-1显然f(x)在[0，2]上连续对f(x)求导得f’(x)=sinx+xcosx显然f’(x)在区间[0，2]上恒有f’(x)＞0f(0)=-1＜0f(2)=2sin2-1＞0即方程xsinx-1=0在区间[0，2]内有且仅有1个根由二分法的误差估计式有0001.021)02(21)(21211nnnab即解得n≥10即取n=10nanbnxnf(xn)符号0021－12345678910111*()()22nnnnxxbaba123-2方程x3-x2-1=0在1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：判断以上三种迭代公式在出x0=1.5的收敛性，选一种收敛公式求出x0=1.5附近的根到4位有效数字。13解：14非线性方程数值解法（牛顿迭代下山弦截法）3-1解：3-215（单点弦略）16插值（一）解：线性插值17解：抛物线插值：18解：ix)(ixf],[1iixxf],,[21iiixxxf],,,[321iiiixxxxf],,,,[4321iiiiixxxxxf-1-10a-0.80.160325.80161a011.0496-4.7252a0.51.156250.3125-0.5672.793a133.68753.3752.19-0.34aNewton插值多项式：))()(())(()()(21031020103xxxxxxaxxxxaxxaaxNxxxxxx)8.0)(1(79.2)8.0)(1(752.4)1(8016.51)5.0()8.0)(1](,5.0,0,8.0,1[)()()(33xxxxxfxNxfxR19插值（二）5-1205-2解：节点处函数值如下：215-3解：由于插值条件有5个，故所求插值多项式的次数不超过4。构造插值基函数