泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用

第26卷第2期天中学刊Vol.26No.22011年4月JournalofTianzhongApr.2011收稿日期：2010-10-28作者简介：赵中（1975―），男，河南驻马店人，讲师，博士．泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用赵中，张秀全（黄淮学院数学科学系，河南驻马店463000）摘要：泰勒公式在数学分析中具有重要地位．讨论了泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数求解方面的应用，拓宽了泰勒公式的应用范围．关键词：泰勒公式；高阶导数；高阶偏导数泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，在微积分的各个方面有着广泛的应用．现有文献对一元函数的泰勒公式在近似计算、误差分析、函数极限的求解、函数单调性的判断和微分方程的求解等方面的讨论较多，但很少涉及一元函数的泰勒公式在高阶导数中的应用以及二元函数泰勒公式的应用．本文通过典型例题，讨论泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数求解方面的应用．1主要定理定理1若函数()fx在点0x存在直到n阶的导数，则有()001()()()()!ininifxfxxxRxi==−+∑.(1)(1)式称为一元函数()fx在点0x处的泰勒公式，其中0()(())nnRxoxx=−.定理2若函数()fxy，在点000()pxy，的某邻域0()Up内有直到1n+阶的连续偏导数，则对0()Up内任一点00()xhyk++，，存在相应的(01)θ∈，，使得()000001()()!inifxhykhkfxyixy=∂∂++=++∂∂∑，，()1001().(1)!nhkfxhyknxyθθ+∂∂++++∂∂，(2)(2)式称为()fxy，在点000()pxy，处的泰勒公式，其中()00000()().mmmiimimimiihkfxyxyCfxyhkxy−−=∂∂+∂∂∂=∂∂∑，，定理3设函数()fxy，具有1n+阶连续偏导数，若用某种方法得到展开式000()()()()nijnijijfxyAxxyyoρ+==−−+∑，，(3)则必有001()!!ijijijAfxyijxy+∂=∂∂，，其中2200()().xxyyρ=−+−2泰勒公式的应用2.1一元函数的泰勒公式在高阶导数中的应用2.1.1求高阶导数当()fx在点0x处具有任意阶导数时，由定理1可推出当且仅当lim()0nnRx→∞=时，()fx在点0x点有泰勒展开()000()()().!nnnfxfxxxn∞==−∑据此，若求出()fx在点0x处的n阶导数值，可将()fx在点0x点作泰勒展开，从而求出()0().nfx例1设10()arctanfxxx=，求()(0).nf解：因为2201(arctan)(1)(11)1nnnxxxx∞=′==−∈−+∑，，，两边积分得210(1)arctan[11]21nnnxxxn∞+=−=∈−+∑，，，由此可得()fx的泰勒展开式102110(1)()arctan[11]21nnnfxxxxxn∞+=−==∈−+∑，，，从而中图分类号：O172文献标志码：A文章编号：1006-5261(2011)02-0081-02赵中，张秀全：泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用·82·(211)(0)(1)(211)!(21).nnfnn+=−++若令21121nl+=+，则上式可改写为(21)1(0)(1)(21)!(29)5.llflll+−=−+−≥，综上，我们有：l为自然数时，(2)(0)0lf=，且1(21)(1)(21)!(29)5(0)005lllllfl−+−+−≥⎧=⎨≤⎩，.当当2.1.2证明与高阶导数有关的命题当问题涉及函数的二阶或二阶以上导数时，可使用泰勒公式将各阶导数有机地联系起来，再根据题意对泰勒展开式进行处理，从而达到解决问题的目的．使用该法的关键是写出函数在某一点的泰勒公式．例2设函数()fx在()−∞+∞，上有3阶导数，并且()fx和()fx′′′在()−∞+∞，上有界，证明：()fx′和()fx′′在()−∞+∞，上也有界．证明：设0303()()MMfxMfxM′′′∈≤≤，，，，R则由泰勒公式可得(1)()()()2fxfxfxfx′′′+=+++11()6(1)fxxξξ′′′∈+，，，(4)(1)()()()2fxfxfxfx′′′−=−+−22()6(1)fxxξξ′′′∈−，，.(5)(4)式与(5)式相加，可得12(1)(1)2()()[()()]6fxfxfxfxffξξ′′++−=++′′′′′′−，故有03()43()fxMMx′′′≤+∀∈−∞+∞，，；(4)式与(5)式相减，可得12(1)(1)2()[()()]6fxfxfxffξξ′′′′′′′+−−=++，故有03()6().fxMMx′≤+∀∈−∞+∞，，综上可知()fx′和()fx′′在()−∞+∞，上也有界．2.2二元函数泰勒公式在高阶偏导数中的应用2.2.1求高阶偏导数根据定理2和定理3，若将()fxy，在点000()pxy，的泰勒公式写出，则可求出()fxy，在点000()pxy，处的高阶偏导数．例3设22221()()(1e)()(00)()0()(00)xxyxyxyfxyxy−++−≠⎧=⎨=⎩，，，，，，，求2(00)fxy∂∂∂，和44(00)fx∂∂，，并求()fxy，在点(00)，处的4阶泰勒多项式．解：由于22()222222222e1()()2([()])xxyxxyxxyoxxy+=++++++，所以22221()222222()(1e)()2(()).xxyxyxxxyoxxy−++−=−−+++由泰勒展开式的唯一性知()fxy，在点(00)，处的4阶泰勒展开式为222()2xxxy−−+，由此可得244(00)(00)04!(12)12.ffxyx∂∂==−=−∂∂∂，，，2.2.2求解与高阶偏导数有关的命题例4设nD⊆R为凸区域，12()()nfxfxxx=，，，有连续的二阶偏导数，证明：当()fx在D上为凸函数时，黑赛矩阵21nijijfxx=∂⎛⎞⎜⎟∂∂⎝⎠，在D上为半正定的.证明：用反证法．假设此黑赛矩阵为非半正定的，即存在0xD∈及12()nhhhh=，，，使得2T1212()()0nnijfhhhhhhxx∂⎛⎞⎜⎟∂∂⎝⎠，，，，，，，则当0λ→时，1222T2122122T21221221()()()()2()()()1()()()2()()()1()()[()2()(nnijnnijnijfxhfxhfxhhhfxhhhohxxfxhfxhhhfxhhhoxxfxhfxhhhfxxxλλλλλλλλλλλλλλ•••+=+∇+∂⎛⎞+⎜⎟∂∂⎝⎠=+∇+∂⎛⎞+⎜⎟∂∂⎝⎠=+∇+∂⎛⎞⎜⎟∂∂⎝⎠，，，，，，，，，，，，，，，T12)(1)]()()nhhhofxhfxλ+≤+∇，，，，与f(x)为凸函数矛盾.故此黑赛矩阵在D上为半正定的.参考文献：[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．3版．北京：高等教育出版社，2001．[2]陈守信．数学分析选讲[M]．北京：机械工业出版社，2009．[3]吉米多维奇．数学分析习题集[M]．北京：高等教育出版社，1984．[4]陈丽．泰勒公式的应用[J]．廊坊师范学院学报：自然科学版，2009，9(2)：20―23．[5]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2006．〔责任编辑张继金〕