微分中值定理辅助函数类型的构造技巧

辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。(1)若题目中出现等式“'()()fkf”时，一般可以考虑作辅助函数)()(xfexFkx.例:设函数f在[,]ab上可微，且()()0fafb证明：kR，(,)ab，使得'()()fkf分析:要证'()()fkf，即证'()()0fkf，也就是证函数)()(xkfxf的零点.注意到[()]'['()()]kxkxfxefxkfxe，因此，只要检验函数()()kxFxfxe是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kxFxfxe，(,)xab，则()Fx在[,]ab上满足罗尔定理条件，故(,)ab，使得0)(F，而)()()()()(kffeexkfexfFkxkxkx，则['()()]0kefkf，即'()()fkf.(2)若题目结论中出现等式“1'()nAf)0(A”时，可考虑作副主函数()()Fxfx，()nGxx.例:设函数f在[,]ab上连续，在(,)ab内可微.证明：(,)ab，使得：222(()())'()()fbfafba.证明:i）若0(,)ab作辅助函数()()Fxfx，2()Gxx，()Fx，()Gx均满足柯西中值定理条件所以(,)ab使得22()()'()2fbfafba，即222(()())'()()fbfafba.ii）若0(,)ab，'(0)0,0fab由i）可类似得证.iii）若0(,)ab，'(0)0f，取0，即证.(3)若题目结论中出现“()'()ff”时，可以考虑作辅助函数()()fxFxx，1()Gxx.例:设函数f在[,]ab上连续)0(a，在(,)ab内可微.证明：(,)ab使得1()'()()()abfffafbab,证明:因为2)()()(xxfxfxxxf,考虑作辅助函数()()fxFxx，1()Gxx，显然F与G在[,]ab上满足柯西中值定理条件，所以必(,)ab，使得)()()()()()(GFaGbGaFbF即221)()(11)()(ffabaafbbf)()()()(1ffabfbafba证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()ff”时，可考虑作辅助函数()()Fxxfx，()Gxx.例:设函数f在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，证明：必有(,)ab，使得()()()'()bfaafaffba.分析:我们熟悉)()()(xfxxfxxf，因此作辅助函数()()Fxxfx，()Gxx，且知()Fx，()Gx在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(GFaGbGaFbF，即()()()'()bfaafaffba得证.(5)若题目中出现式“'()f”时，可考虑作辅助函数()()Fxfx，()lnGxx.例:设函数f在[,]ab(0)a上连续，在(,)ab内可导，则存在(,)ab使得()()'()lnbfbfafa证明:由我们熟悉的xx1)(ln，考虑作辅助函数()()Fxfx，()lnGxx且)(),(xGxF在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(ba，使得()()'()1lnlnfbfafba，即()()'()lnbfbfafa，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()fkf”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(xfxxFk例:设)(xf在ba,上连续，)0(ba，在),(ba内可导，且)()(abfbaf，证明：),(ba使得)()(ff.证明:设)()(1xfxx，显然在ba,上连续，而2)()()(xxfxfxx在在),(ba内存在，且)()()(11bfbafaa，故在ba,上满足罗尔中值定理条件，于是必),(ba使得0)()(2ff）（，所以0)()(ff，而0，所以)()(ff.证毕.（7)若题目中出现等式“2fff”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2xfxF，因为)(xF经过一次求导为)()(2)(xfxfxF，再次求导后，即)()()(2)(xfxfxfxF.例:设)(xf在ba,上连续，在),(ba内二阶可导，且0)()(bfaf，证明：),(ba，使得.0)()()(2fff证明:设辅助函数),()(2xfxF则)()(2)(xfxfxF，因为)(xF在ba,上连续，在),(ba内可导，且0)()(2)()()(2)(bfbfbFafafaF，所以由罗尔中值定理知：必),(ba使0)(F，而0)()()(2)(2fffF，即0)()()(2fff.证毕.(8)若题目中出现等式“2fff的关系时，则需构造辅助函数)(ln)(xfxF，因为)(xF经过一次求导后为)()()(xfxfxF，再次求导后得到.)()()()()(2xfxfxfxfxF例:设)(xf在ba,上连续，在),(ba内可导，且baxxf,,0)(，)()()()(bfafafbf，试证：必),(ba使得.0)()()(2fff证明：设)(ln)(xfxF，得)()()(xfxfxF，显然)(xF在ba,上连续，在),(ba内可导，则)()()()()()(bFbfbfafafaF，故满足罗尔中值定理条件，因此必),(ba使得0)(F，而0)()()()()(22xxfxfxfxfF，即.0)()()(2fff证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0fdxxf”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0xxdttfex例：设f在a,0上连续，在),0(a内可导，且adxxf0.0)(证明：),0(a使得0)()(0fdxxf.证明：作辅助函数xxdttfex0)()(，显然)(x在a,0上连续，在),0(a内可导，且)0(0)()(0aadttfea，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a使得0)(，而)()()()()(00xfdttfexfedttfexxxxxx，由于0e，故0)()(0fdxxf.证毕.(10)若题目出现等式“()()ff”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(xfexgx，第二次构造)()()(xfxfexx.例:设设)(xf在ba,上可导，在),(ba内二阶可导，0)()(bfaf，0)()(bfaf，试证：),(ba，使得).()(ff证明：因为0)()(bfaf，所以)(af与)(bf同号，设0)(af，即0)(lim_)()(limaxxfaxafxfaxax，所以),,(,01aax使得0)(1xf，0)(lim)()(limbxxfbxbfxfbxbx，所以),(,02bbx，使得.0)(2xf又因为f在ba,上可导，故f在ba,上连续，即f在),(21xx上连续,而0)(,0)(21xfxf，所以由介值定理（或零点定理），),(21xx使得.0)(f再看，由题目结论，构造辅助函数),()(xfexgx因为)()()(fbfaf，所以0)()()(bggag，故),(1a，使得,0)(1g),(2b，使得.0)(2g因为)()()()()(xfxfexfexfexgxxx，由0)()(21gg，可得.0)()(,0)()(2211ffff令)()()(xfxfexx，所以有0)()()(1111ffe，,0)()()(2222ffe即0)()(21，又因为)(x在21,上连续可导，所以),()(2,1ba，使得0)(，即0)()()(xxxfxfe，而0e，故0)()(ff.证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()fafb.那么在区间(,)ab内至少有一点()ab，使得()fx在该点的导数等于零，0)('f.题型一：设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且0)()(bfaf，证明对任何实数k，至少存在一点),(ba使)()(kff成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(kff，即证0)()(kff，即0)()(xkxfxf.而要0)()(xkxfxf就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(xF应该满足在],[ba上连续，在),(ba内可导，)()(bFaF，kxfxfxF)()()(，如果这样的话kxxfxF)(ln)(，但是)(xF在点a和点b处都没有定义，所以不满足)()(bFaF,从而kxxfxF)(ln)(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(xFe的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(xFe可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(xfeexGkxxF，则)(xG满足)(0)(bGaG以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(ba使得0)(G，而)()()(xkfxfG，所以0)()()(kffeGk，而0kxe，所以只能0)()(kff，即)()(kff成立，由此)(xG就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x为cc,上的连续奇函数，且在cc,内可导，又0)(c，证明：对任何实数，都存在cc,使得0)()(.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(xexGx，则)(xG在cc,上连续，又因为)()()()()(xxexexexGxxx在cc,内存在，且0)()(cGcG，（0)()(cc），所以它满足罗尔定理条件，故必),(cc，使得0)(G，即0)()(.证毕.证法二:若设dttxxGxc)()()(，则)(xG在cc,上连续，且)()()(xxxG在cc,内