高中数学选修2-2公开课课件1.3.3 函数的最大(小)值与导数

1.3.3函数的最大（小）值与导数汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大；（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？解析:（1）显然不是；（2）行驶里程一定,汽油消耗量最小.今天我们来学习有关最大值与最小值的问题！飞驰的汽车1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件.(重点)3.掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤.(难点)在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.探究点函数的最大（小）值与导数a1x2x3xo4x5x6xbxyxfy图3.3-13如图3.3-13,观察区间a,b上函数y=fx的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?.135246观察图象,我们发现,fx,fx,fx是函数y=fx的极小值,fx,fx,fx是极大值3从图3.3-13可以看出,函数y=fx在区间a,b上最大值是fa,最小值是fx.的你能找出函数y=fx在区间a,b上的最大值、最探究小值吗?a1x2x3xo4x5xbxyxfy图3.3-14xfyabxyo图3.3-15在图3.3-14、3.3-15中,观察a,b上的函数y=fx的图象,它们在a,b上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?一般地,如果在区间a,b上函数y=fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.43结合图3.3-14、图3.3-15,以及函数极值中的例子,不难看出,只要把函数y=fx的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值fx与最小值fx.为为一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：最大值与最小值的概念（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值.131求函数fx=x-4x+4在0,3上的最大值3与例最小值.oxy2331fx=x-4x+43图14为3'21因fx=x-4x+4,所以3fx=x-4=解x-2x+2.'令fx=0,得x=2,或x=-2.当变时变况'x化,fx,fx的化情如下表:由又于f0=4,f3=1,数4因此,函fx在0,3上的最大值是4,最小值是-.3结论从数图图观验证上述可函fx在0,3上的象(1)得到直.单调递单调递减单调递'x-∞,-2-2-2,222,+∞fx+0-0+284fx增-增33一般地,求函数y=fx在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:1求函数y=fx在a,b内的极值;2将函数y=fx的各极值与端点处的函数值fafb比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.，例2求函数y＝x4－2x2＋5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:344yxx令,解得x=-1，0，1.0y当x变化时,的变化情况如下表:,yy从上表可知，最大值是13，最小值是4.1345↗4↘130－0＋0－2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2yxy＋↘↗1.函数的最值概念是全局性的2.函数的最大值（最小值）唯一3.函数的最值可在端点处取得总结提升1.函数f(x)=x³-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A.1，－1B.1，-17C.3，-17D.9，-19C2.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)（）A.无极大值点，有两个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点Cxoyf´(x)3.设函数则（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数1f(x)=2x+-1(x0),xf(x)A4321114.函数y=x+x+x,在-1,1上最小值为432的13A.0B.-2C.-1D.12A5.已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2,2]上有最大值3，函数在[-2,2]上的最小值为____.-376.函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_____.-37.若函数的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.326012()(),[,]fxaxaxbax解:令得x=0,x=4（舍去）.23120()fxaxax当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:f(x)x-1(-1,0)0(0,2)2f’(x)+0-0f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,故b=3.又f(-1)-f(2)=9a0,所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数2.求函数最值的一般方法：3.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)，f(b)放在一起比较.苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴.