高中数学选修2精品课件1.3.1函数的单调性与导数1

复合函数求导步骤：分层——层层求导——做积还原22cos3(22)xyexx练习:求下列函数的导数（1）（2）y=cos2(22)x2（3）y=cos复习引入问题1：怎样定义函数的单调性.1.定义：一般地，对于给定区间G上的函数f(x)，如果对于属于G的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数yxoabyxoabG=(a,b)(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1x2.(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.复习引入练习：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.并画出图象。yx02单增区间：（２，+∞）单减区间：(－∞，２);2.123xxxy;ln.2xxy.1.3xeyx那么如何求出下列函数的单调性呢?问题探究发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系：2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：问题探究总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.问题探究aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf知识探究一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数；如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．练习1：已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4时,或x1时,当x=4时,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf)(xfxyO14小试牛刀新课讲解例1.确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．小结：证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)确定f(x)的定义域(2)求f’(x)；(3)f’(x)0为单调增区间，f’(x)0为单调减区间。判断下列函数的单调性:;3)()1(3xxxf);,0(,sin)()2(xxxxf(3)33xyex说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.解题探究例2：求下列函数f(x)的单调区间.sin2)(21)1ln(2)(1xxxfxxxf）；）思考：（1）若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．例3、设函数y=f(x)的图象如图，则其导函数可能为()xyxyAxyBxyCxyD设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C小试牛刀例3：如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.解题探究一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a知识探究练习2：函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状。)(xfy)(xf小试牛刀例题讲解例4．的单调减区间；）求函数（23223)(21311axaxaaxy（2）:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.3229yaxxxRa变式：是上的增函数，求实数的取值范围。.)(1)1ln()1()(3的单调区间求，，其中）设函数（xfaxaaxxf例题讲解调性；的单，）讨论函数（)011(1)(22bxxbxxf求参数的取值范围例3:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.练习6：已知函数]1,0(,12)(2xxaxxf，若)(xf在]1,0(x上是增函数，求a的取值范围.练习7：（2007年江西理科第9题）设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件B求方程根的问题例4：求证方程只有一个根。102xsinx练习8：函数83axxy的单调减区间是（-5，5），则此函数的单调增区间是_________________________.1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点.3.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.课时小结