高中数学选修4-1相似三角形的判定及性质第二课时

1.3相似三角形的判定及性质第一讲相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).复习回顾预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述:两角对应相等,两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似CBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且ACAEABAD求证：DE//BCE证明:作DE//BC,交AC于EACAEABAD'ACAEABADACAEACAE'∴AE=AE因此E与点E重合即DE与DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.在探究数学问题的过程中，应当做到“步步有据”。有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题称为引理.当直接证明比较困难时,用间接法.“同一法”是一种间接证明方法.“同一法”证明问题时:先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与提设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.例3.如图，在△ABC内任取一点D,连接AD和BD,点E在△ABC外,.DBE:ABC求证∽ABECD证明:在△DBE与△ABC中,.,DBCABDABCCBDEBCDBE)1(.,ABCDBEEBCABD.,DABECBABDEBC.,DABECBABDEBC又.ABDCBE∽即.ABBCBDBE)2(.ABBDBCBE由(1)(2)及判定定理2知.DBEABC∽判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似ABCCBA已知:如图,在△ABC和△ABC中CAACBCCBABBA求证:△ABC∽△A’B’C’证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E.DECAEABCDEABAD△ADE∽△ABC∵AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,∴△ADE≌△ABC∴△ABC∽△ABC例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：△DEF∽△ABCFDEBAC证明:∵线段EF、FD、DE都是△ABC的中位线ABDECAFDBCEF21,21,2121ABDECAFDBCEF∴△DEF∽△ABC直角三角形相似的判定定理定理（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.两角对应相等两边对应成比例及夹角相等定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。..90CC.ABC:0CAACBAABCBARtRt中和已知CBARtRtABC:求证∽.kCBBCCAACBAAB..ABCAkACBAk那么，.)(22222222CBkCABAkACABBC.CBkBCCBARtRtABC3得由判定定理∽ABCA΄B΄C΄.kCAACBAAB：设证明2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA´B´C´D´2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；ABDCA´B´C´D´...90.0BAABDAADDBAABDBDAADBBB∽∽CBAABC:证明2.相似三角形的性质ABDCA´B´C´D´∽CBAABC:证明（2）相似三角形周长的比等于相似比；.kCBBCCAACBAAB...ABCAkACCBkBCBAkACCBBACABCAB.)(kACCBBAACCBBAk（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA´B´C´D´.21212kkkDAADCBBCDACBADBCSSCBAABC例如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)ADBC=BEAC(2)AHHD=BHHE分析:(1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC(2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD例6.如图,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.ABCMDQPNE解:设正方形PQMN为加工成的正方形零件.边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上.△ABC的高与边PN相交于点E.设正方形的边长为xcm.)(8241212cmxxxxBCPNADAEABCAPNBCPN//∽相似三角形中的高，中线，内角平分线，周长，面积等要素都与相似比有关.思考：那么，与三角形有关但不在三角形内的其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？你想到哪些元素？三角形的外接圆和内接圆问题1两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？探究：ABDCOA´B´D´C´O´∵∠C=∠C′而∠D=∠C∠D′=∠C′∴∠D=∠D′,∽∴Rt△ABDRt△A′B′D′.kBAABDAADADADO22的周长DADAO22的周长.kDAADOO周长周长.)2()2(222kDAADOO面积面积结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。问题2两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。Rr习题1.35.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.求证:GH//AB.ABCDEFGHEGAGEFADEFBCEHBH预备定理定义引理习题1.36.已知:DE//AB,EF//BC.求证:△DEF∽△ABC.7.△ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高.求证:AD·BC=BE·ACABCEDFOABCDEF三边对应成比例△ACD∽△BCE.习题1.310.如图,平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2求:△AEF与△CDF的周长比;如果△AEF的面积等于6cm²,求△CDF的面积.ADEBCF作业：1、如果一个圆过△ABC的顶点B和C，并且分别交AB、AC于点D和点E。求证：ADAEACAB2、已知E是圆内接四边形ABCD的对角线BD上的一点，并且∠BAE=∠CAD，求证：(1)(2)ABCDACBEADBCACED3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b，A′B′=a′，当A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；4、已知△ABC，求作△A′B′C′，使它与△ABC相似，并且△ABC和△A′B′C′的相似比为2：3。5、如图，线段EF平行于平行四边形ABCD，的一边AD，BE与CF交于一点G，AE与DF交于一点H，求证：GH∥ABABCDEFGH6、如图：已知DE∥AB，EF∥BC。求证：△DEF∽△ABCAOBCDEF2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；7、如图，△ABC是钝角三角形，AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，求证：ADBCBEACABCDEF2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；小结相似三角形的概念预备定理判定定理3判定定理2判定定理1直角三角形判定定理