数学建模-醉酒驾驶问题

南昌航空大学数学与信息科学学院实验报告课程名称：数学模型实验名称：醉酒驾驶的数学模型实验类型：验证性□综合性■设计性□实验室名称：数学实验室D208班级学号：11071120学生姓名：张万晴任课教师：张邻成绩：实验日期：2013-11-13至2013-11-20-2-目录一、问题的重述………………………………………3二、问题的假设………………………………………4三、符号说明…………………………………………5四、模型的建立………………………………………5五、问题分析与模型建立……………………………7六、结果分析与检验…………………………………17七、模型的评价与改进………………………………18-3-一、问题重述据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？问题1对大李碰到的情况做出解释问题2喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在下列情况下回答该问题：1.酒是在很短时间内喝的；2.酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。-4-2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、问题假设1.不考虑酒精进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道细菌产生的酒精，只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程。2.假设体液中的酒精消耗(向外排出、分解或吸收)的速度，与体液中的酒精浓度(或含景)成正比。3.不考虑酒精进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道细菌产生的酒精，只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程4.设人体血液和体液中酒精浓度相等,酒精进入血液后瞬间混合均匀。5.假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和做剧烈-5-三、符号说明t时刻肠胃中的酒精含量：p(t):t时刻血液中的酒精浓度；X(t):t时刻血液中的酒精含量；r1(t)：饮入酒精的速率；r2(t):肠胃内酒精进入血液的速率；r3(t):肠胃内酒精进入（除体液外）其它地方的速率；r4(t)：血液中酒精被分解的速率。0p：所饮酒中含的酒精量；V：体液的体积；X(t)：四、模型的建立一、符号说明及模型假设1.符号说明k----------酒精在人体中的消除速率常数[1]tc--------t时刻血液中的酒精浓度F-------------酒精在人体中的吸收度V-------------人体的血液体积V酒-----------喝酒的体积t----------饮用酒的时间)(tx-------t时刻血液中的酒精量-6-)(1tx------t时刻人体吸收的酒精量M----------人的体重λ---------人的体液占人的体重的百分含量ρ-------------酒中的酒精含量τ-------------饮酒持续时间0x---------人体饮入酒精总量μ----------人的血液占人体重的百分含量1k----------酒精在人体中的吸收速率常数[1]2.基本假设1.酒精按一级吸收过程进入体内；2.正常情况下，酒精在各人体中的吸收和消除速率基本相同3.酒精进入人体后，不考虑其他因素对酒精的分解作用；4.每瓶啤酒的酒精含量、体积基本相同；5.如果在很短时间内饮酒，认为是一次性饮入，中间的时间差不计；6.酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同；假设模型一个人的血液中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠(主要是肝脏)的吸收与分解进入体液的。-7-根据假设可建立以下基本模型：)()()()()()()()()()()(44332242321tyktrtxktrtxktrtrtrddtrtrtrddtytx从生物学可知，酒类进入人体后，胃及血液中酒精随注入酒精速率、浓度、时间等不同产生不同的代谢速率。下面根据饮酒速率及方式的不同建立三种实用模型。○1短时间内快速饮酒模型在基本模型的基础上，由短时间快速饮酒的特点可得出初始值：0)(1tr，0)0(px,0)0(y，将其代入基本模型可得模型)()()()(4232txktxkddtxkkddtytx五、问题分析与模型建立1.快速饮酒模型同药物一样，酒精进入机体后，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过-8-各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。它们可归纳为两大方面：一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。又因为酒精有促进血液循环的作用[2]。而药物动力学模型中的一室模型[3]是指给药后，药物一经进入血液循环，即均匀分布至全身,故快速饮酒情况可通过建立一室模型求解。虽然酒精在体内的分布状况复杂，但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，进入血液后，当在血液中达最高浓度时，随后开始消除[3]，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化。用indtdx和outdtdx分别表示酒精输入速率和输出速率。由于单位时间内血液中酒精的改变即变化率dtdx就等于输入与输出速率之差，所以其动力学模型为：dtdx=indtdx-outdtdx（1）又因为酒精在血液中的消除速率与当时血液内的药量成正比，所以outdtdx=kt，代入（1）式得：dtdx=indtdx-kt（2）-9-则由（2）式可知X(t)的变化规律由饮酒速率而定。而酒精在人体内的代谢可简单的由图一表示：1k(图一)则t时刻吸收室的药量为X1(t)，又药物是按一级吸收过程进入体内的，对于吸收室有：dtdx=-k1X1(3)对于房室，indtdx=11xk，于是（2）式变为：kxxkdtdx111（4）（3）、（4）两式构成一阶线性方程组，当t=0时，01)0(Fxx，X(0)=0,解（2）式得：tkeFxx101，将其代入（4）式得一阶线性非齐次方程：tkeFxkkxdtdx101解之得：tkkteekkFxktx1101)(从而，人体内酒精含量为：tkkteekkVFxktC1)()(101在这种情况下，酒精含量最大值出现的时间：使0dtdc时t的值。一般情况下，又因为酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。吸收室X1(t)X(t)VFX0k-10-则有：MFxMx00F(F为常数且0F1)X0=ρV酒则人体内酒精含量与时间函数关系为:)()()(111tkkteeKKVVktC酒（一般情况）1.1.模型的求解根据图一中酒精含量实测数据拟合,显然它无法化为线性最小二乘,我们直接作非线性最小二乘拟合[4]。用MATLAB优化工具箱的Leastsq[5]计算,拟合参数),,(01VFxkkx程序见:JM2004C1.m。拟合得：1k=2.0079mg·ml-1·h-1,k=0.1855mg·ml-1·h-1,VFx0=11.2423（毫克/毫升），又由FVx2423.110，得到问题中隐含的一瓶啤酒的酒精量约为：27543.635毫克。1.2问题一的解答虽然大李喝等量的酒，并且相隔的时间也相同的情况下,两次检查的结果不一样是因为第一次喝下去的酒，在6小时内并没有完全分解，还残留有相当一部分在血液中，并且这一部分在较长时间内不能完全分解。由图（二）喝一瓶啤酒的酒精含量随时间变化的函数图像可知，6小时后，第一次喝的酒的酒精含量约19.5毫克/百毫升。也-11-就是说此时血液中已有一定的酒精量，这样虽然第二次喝的是同样多的酒，由于第一次残留部分的存在，相当于涉入的酒精量已增大了，使其同样再过6小时，酒精含将会大于20毫克/百毫升。这样大李碰到的情况也就很自然的解释了（图二）现通过实际计算证明：设A为第一次喝酒在六个小时后，残留在血液中的酒精量。则第二次喝酒时，酒精含量C（t）与时间t的函数关系为：)()()()(1101tkkteekkVAFxktC代值用MATLAB计算（程序见JM2004C5.LOG），此时再过6小时酒精含量为：27.4毫克/百毫升。这就大于了第一次的值。-12-1.3问题二第一问的求解当一个人在很短时间内喝3瓶啤酒时，相当于在瞬间使其吸收室的酒精浓度达最大值，运用模型Ⅰ并用计算机拟合得其函数图象如(图三)（程序见JM20004C2.LOG），(图三)由图可得：t:0.065—0.24小时内饮酒驾车；t:0.34—4.5小时内醉酒驾车；t:4.5—12小时内饮酒驾车。2.匀速饮酒二室模型）2.1模型的建立及求解由于在两小时内慢速喝酒有多种方式，为了便于计算我们考虑为匀速饮入等量酒精，即在时间τ内匀速吸收酒精。若体内酒精含量不超过一级消除动力学范围，假设人的酒精含量未达到平衡状态，随着人体吸收次数增多，血液中酒精浓度逐渐升高，当在τ时间内饮完后，由于τ时刻前一小段时间内饮入的酒精在短时刻内没有被吸收，-13-故在τ时刻后一段时间内，酒精浓度将继续升高，某一时刻将达到最大值。这一时刻后，酒精含量就会逐渐减小。考虑到一室模型在求慢速喝酒情况下的局限性，我们采用建立二室模型[6]。对二室模型我们将建立两个关于酒精浓度的动力系统模型来描述其动态特性。2.2假设：1、机体分为中心室和周边室，两个室的容积在过程中保持不变。2、药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的酒精浓度成正比。3、只在中心室一体外有酒精交换，即酒精从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外，与转移和排除的数量相比，酒精的吸收可以忽略。2.3模型建立二室模型的示意图如(图四)所示：1k(图一)两个房室中酒精量)(),(21txtx满足的微分方程。)(1tx的变化率由一室向K12吸收室X1(t)X(t)VFX0k-14-二室的转移112xk，一室向体外排除113xk，二室向一室的转移221xk及酒精)(0tf组成；)(2tx的变化率由一室向二室的转移112xk及二室向一室的转移221xk组成，于是有：)(02211131121tfxkxkxkdtdx2211122xkxkdtdx（1）)(txi与血液中酒精含量)(tci、房室容积iV显然有关系式2,1.................................),........()(itcVtxiii（2）将（2）式代入（1）式可得：221112212102211211