嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：19015011所属学校（请填写完整的全名）：广东药学院参赛队员(打印并签名)：1.苏颖杰2.万丽君3.龙艳英指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要月球是宇宙中离地球最近的星球，是地球唯一的天然卫星，也是人类走出地球，进行空间探测的首选目标；同时，还是人类认识宇宙、开发利用太空资源的前哨阵地。嫦娥三号(CE-3)是我国首次地外天体软着陆任务，在世界上首次成功实现了利用机器视觉的地外天体软着陆自主避障。本文主要研究了嫦娥三号着陆轨道的设计及其在软着陆过程中的控制策略，并分析了基于图像处理的两级联动自主避障机制。首先，针对问题一，本文根据开普勒三定律建立了小行星运动模型，并运用能量法和轨迹方程法进行求解，得到6144.1近v，方向垂直于轨迹切线；692.1远v，方向垂直于轨迹切线；至于近月点和远月点的位置，本文认为若要实现预定点着陆且消耗燃料最少，存在一个最优轨道，该轨道的起点即为近月点，所以该问题与着陆轨道结合起来在第二问中一起解决；针对问题二，本文分阶段分析着陆过程，得到了探测器质心动力学方程，并通过构造哈密顿函数，应用Pontryagin极大值原理，将该微分方程求解最有轨道的问题转为两点边值问题，建立了含有大量约束项的非线性规划模型：求参数Ttmvr0,,,,0使得)(ftxJ最小且满足式所列约束项通过Matlab编程进行数值计算，得到结果：着陆器动力下降的初始状态，即近月点的经度19.51W，纬度31.42N，高度15Km，着陆轨道见图4.2.c，发动机推力随时间变化情况见图4.2.d，燃料消耗情况见图4.2.e；整个着陆过程共消耗燃料1.16t；针对问题三，本文认为误差主要来自于月球自传影响、发动机推力是否恒定、地球引力影响、数值求解过程中的约去项等，至于设计轨道和控制策略的敏感性，本文认为针对本文建立的模型，当轨道、推力等敏感性指标受外界影响时，稳定性较好，该模型的敏感性较好。由于着陆器质心运动方程是几个微分方程，非常复杂，且轨迹无解析解，求解困难。本文通过构造哈密顿算符，转化成非线性规划模型，利用matlab编程顺利解决问题。该模型稳定性较好，计算速度较快。不过，本模型并没有考虑月球自转的影响等因素，有待于进一步深化。关键词：软着陆、最优控制策略、非线性规划模型2一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。问题三：对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。3二、问题分析2.1问题一的分析以题目为实体根据，1）借助开普勒第二定律，应用能量法，遵循机械能守恒定律，找出近月点和远月点之间速度的关系,并在只有万有引力做功的系统中机械能守恒这一重要规律最终解决嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置，及相应速度的大小及方向.2）用轨迹方程法，将飞行器运行的椭圆轨道看作重心，并对椭圆的轨迹方程求导,接着结合一般曲线的曲率半径通式来解决近月点和远月点的曲率半径表达式,最终应用万有引力提供向心力的相关方程求得结果.2.2问题二的分析在确定了嫦娥三号第一阶段——着陆准备轨道的近远月点的位置、速度与方向时，进而开始分析飞行器整个着陆过程的轨道，分别分析清楚这六个阶段相应的飞行器的运动情况，根据月球的特征和软着陆的特点，对软着陆各个状态的方程做简化的处理，在轨道动力学模型选定以后，结合约束条件，对轨道进行相对的优化，以达到燃料最优，来确定各个最优控制策略；2.3问题三的分析根据问题二模型的求解过程及相关方法的应用，结合嫦娥三号飞行器运行的多种实际约束问题，对着陆轨道和控制策略进行相应的误差分析和敏感度分析4三、模型假设与约定3.1已知条件1）嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t。2）月球平均半径、赤道平均半径和极区半径分别为1737.013km、1737.646km和1735.843km3,月球的形状扁率为1/963.72563）月球质量是7.3477×1022kg4）月球与地球距离最远（远地点）：406610km，最近（近地点）：356330km，平均距离为384400km。5）地球质量5.98×10^24kg3.2基本假设通过对问题的分析，我们做出如下一些合理假设：1）不考虑空间飞行器上各点因燃料消耗而产生的位移；2）忽略燃料燃烧时对飞行器产生的热能；3）在对卫星和空间飞行器进行轨道估计时，认为作用于其上的所有外力都通过其质心；4）飞行器是在真空里运动的；5）月球大体上为圆，且表面的重力加速度均相等；6）嫦娥三号在环月段轨道和椭圆轨道上运动时,只受到月球的万有引力；7）忽略飞行器内部设备运行所产生的各个影响因素；8）在粗避障阶段，不计飞行器遇到大障碍时移动的时间；9）不计月球自转的影响；11）不考虑月球非球形引力摄动12）不考虑地球引力摄动13）不考虑太阳引力摄动14）不考虑月球固体潮摄动15）不考虑月球物理天平动16）不考虑太阳光压摄动17）不考虑月球扁率间接摄动18）不考虑地球扁率摄动19）不考虑大行星(金星、木星)引力摄动20）不考虑月球引力后牛顿效应5四、符号说明符号符号定义符号符号定义近v嫦娥三号在近月点时的速度远v嫦娥三号在远月点时的速度近h嫦娥三号在近月点时的高度远h嫦娥三号在远月点时的高度R月球的半径G万有引力常数M月球质量引F月球的引力月球的引力加速度推F制动发动机的推力推a制动发动机的推力加速度合F着陆器受到的合力合a着陆器受到的合力加速度推力方向与引力方向的夹角速度方向与引力方向的夹角推力方向与引力方向的夹角推力方向与引力方向的夹角五、模型建立与求解5.1问题一模型建立与求解5.1.1问题分析对于问题一，为了能得出两组评价结果有无显著性差异，本文通过双因素分析计算其平均值和方差来比较哪种结果有较大差异，然后利用Excel来分别画出第一组与第二组的均值的关系图、方差的条形图，再对比、观察图形，从而分析得到哪个结果有显著性差异。65.1.2模型建立5.1.2.a速度求解模型速度求解模型的符号说明符号符号定义符号符号定义近v嫦娥三号在近月点时的速度远v嫦娥三号在远月点时的速度近h嫦娥三号在近月点时的高度远h嫦娥三号在远月点时的高度R月球的半径M月球质量G万有引力常数速度求解模型建立如图所示，嫦娥三号绕月球的轨道为椭圆，月球位于其中的一个焦点上,椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，月球质量为M。求解行星运动到近月点A和远月点B的速度表达式近v和远v。如图所知Rhca近○1Rhca远○2联立○1○2解得：图4.1.aRhha2远近2近远hhc解法一：能量法设该行星质量为m,A、B分别为该行星运动的近月点和远月点,以近v和远v分别表示经这两点的速度,由于速度沿轨迹的切线方向,可知近v和远v的方向均与椭圆的长轴垂直,且A、B两点距月球的距离分别为,caLAcaLB,A、B两点分别取极短的相等时间t,则行星与月球连线在这两段时间内扫过的面积分别为BBAALtvSLtvS远近21,21.根据开普勒第二定律常见表述：中心天体与环绕天体的连线（称矢径）在相等的时间内7扫过相等的面积,故有BASS,代入得近远vcacav.(1)行星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和,故当行星分别经过A、B两点时的机械能为,212122caGMmmvLGMmmvEAA近近(2)caGMmmvLGMmmvEBB222121远远(3)由于行星在运动过程中只受万有引力作用,所以遵循机械能守恒定律,故有BAEE(4)将(1)~(4)式联立解得:,acaGMcav近.acaGMcav远经分母有理化并结合椭圆中222cba可得,aGMcabvA.aGMcabvB很明显,BAvv,正好符合我们对近月点和远月点速度大小关系的认知.我们在此法中巧妙的运用了开普勒第二定律,进而迅速找出近月点和远月点之间的速度关联,并根据只有万有引力做功的系统中机械能守恒这一重要规律使问题最终得以解决.解法二：轨迹方程法该解法的指导思想是对椭圆的轨迹方程求导,并结合一般曲线的曲率半径通式求出近月点和远月点的曲率半径表达式,然后利用万有引力提供向心力列方程求解.如图所示,椭圆的轨迹方程为12222aybx(5)将(5)式变形为222222baybxa(6)8根据隐函数的求导法则将(6)式对x求导有02222yybxa(7)即ybxay22（8）将(7)式再次对x求导得0)(2222yyyyba（9）将(8)、(9)两式联立得3424222ybxaybay（10）根据曲率半径公式有yyr2321（11）将(8)、(10)、(11)式联立并将A点坐标A（a,0）代入可得A点的曲率半径为abRA2（12）根据椭圆的对称性,远月点B的曲率半径为abRRAB2(13)由于在A、B两点行星运行速度方向与万有引力方向垂直,万有引力只改变速度方向,并不改变速度大小,故分别根据万有引力提供向心力得ARmvcaGMm22近(14)BRmvcaGMm22远(15)将(13)~(15)式联立可得,aGMcabv近.aGMcabv远9代入数据求解以上两种解法结果完全相同,各有千秋