椭圆的几何性质课件

222cab08:55:5511.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:|)|2(2||||2121FFaaPFPF当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay温故知新)0(12222babyax问题1：观察椭圆的形状，你能从图上看出横坐标x,纵坐标y的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊?oyB2B1A1A2F1F2caba一、椭圆的范围08:55:554即byax和由22221xyab221xa221yb和oxyx=-ax=ay=by=-b由-a≤x≤a,-b≤y≤b11625.122yx口答下列椭圆的范围。练习44,55yx≤≤≤≤二、椭圆的对称性08:55:556yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:557yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:558yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:559yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5510yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5511yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5512yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5513yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5514yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5515yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5516yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5517yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5518yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5519yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5520yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5521yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5522yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5523yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5524yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5525yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5526yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5527yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5528yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5529yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5530yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5531yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5532yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5533yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5534yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5535yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5536yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5637yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5638yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5639yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5640yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5641yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5642yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5643yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5644yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5645yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5646yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5647yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5648yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5649yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5650yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5651yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5652yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5653yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5654yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5655yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5656yxoF1F2··x2y2＋=1a22b08:55:5657yxoF1F2··x2y2＋=1a22b22221(0)xyabab08:55:5658YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称08:55:5659从图形上看：椭圆既是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。从方程上看：（1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。）（中，关于原点对称的是下列方程所表示的曲线49.54.04.2.222222yxDxyxCxyByxA练习2.D三、椭圆的顶点与长短轴08:55:5661)0(12222babyaxoyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)令x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点？令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？a2=b2+c208:55:5662椭圆顶点坐标为：椭圆与它的对称轴的四个交点——椭圆的顶点.回顾：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).焦点坐标(±c，0)oxyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)22221xy=ab（a＞b＞0）08:55:5663长轴：线段A1A2；长轴长|A1A2|=2a.短轴：线段B1B2；短轴长|B1B2|=2b.焦距|F1F2|=2c.①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；③焦点必在长轴上.②a2=b2+c2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bacF2F1|B2F2|=a；注意08:55:5664123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1椭圆的简单画法：矩形椭圆四个顶点连线成图四、椭圆的离心率222xya08:55:5665oxyace椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：1）e越接近1，c就越接近a，请问：此时椭圆的变化情况？b就越小，此时椭圆就越扁。2）e越接近0，c就越接近0，请问：此时椭圆又是如何变化的？b就越大，此时椭圆就越趋近于圆。如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变为圆的方程：离心率反映椭圆的圆扁程度离心率：因为ac0，所以0e108:55:5666因为ac0，所以0e1.2210,,,cecaabac当椭圆扁2200,,,cecabaca当椭圆圆离心率越大，椭圆越扁离心率越小，椭圆越圆Oxyab●c08:55:5667[3]e与a,b的关系:222221ababaace08:55:5668222221612:9362,yxxyC1问：对于椭圆C与椭圆：更接近于圆的是。2C标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率22221(0)xyabab)0(12222babxay08:55:5669|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。（a,0）,(0,b)（b,0）,(0,a)(±c,0)(0,±c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2cea222221ababaace例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,08:55:5670它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：外切矩形的面积等于：。108635(3,0)(5,0)(0,4)80分析：椭圆方程转化为标准方程为：2222162540012516xyxya=5b=4c=3oxyoxy08:55:56711.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标，顶点坐标．（１）22x4y16.【解析】故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为焦点坐标为，顶点坐标（±4,0），(0,±2).(2)已知方程化为标准方程为故可得长轴长为18，短轴长为6，离心率为焦点坐标为，顶点坐标（0,±9），（±3,0）.为标为22xy（1）已知方程化准方程+=1，16432，23,0（）0,62（）223，229xy81.（２）221819yx，强化训练08:55:5672例2.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是.2308:55:5673)0(12222babyax1AF，12FF，1FB1,椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若成等比数列，则此椭圆的离心率为____.55强化训练08:55:56742.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率是则ｍ＝.mymx552210e,53变式.已知的椭圆的离心率是则ｍ＝.mymx552210e,52533或例3、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率，求椭圆的标准方程。23e08:55:5675解:（1）当（0，2）点是长轴端点时所以a=232cea又31cb1422xy是所求的椭圆的标准方程（2）当（0，2）点是短轴端点时所以b=22232cabeaa又4a所以221164xy所求的椭圆的标准方程是141614,2222yxxy或椭圆的标准方程是综上所述08:55:5676强化训练已知：椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。解法一：①若椭圆的焦点在x轴上，设方程为2223239011ababab解得2219xy)0(12222babyax由题意得：∴椭圆的方程为②若椭圆的焦点在y轴上，设方程为22221(0)yxabab2223290931ababab解得221819yx由题意得：∴椭圆的方程为综上所述，椭圆的方程为2222119819xyxy或221(0,0,)xymnmnmn99112322n32mmmmn或m9m9n=1n81或2222119819xyxy或08:55:5677解法二：设椭圆方程为则由题意得解得椭圆的方程为练习.写出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3.(2)椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近端点的距离是.105小结一：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）{3}基本线：对称轴（共两条线）请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）定义图形方程范围对称性焦点顶点离心率012222babyax012222baaybxF1F