高频与射频电路-第3章

第3章Smith圆图史密斯圆图（Smithchart）是一款用于电子工程学的图表，主要用于传输线的阻抗匹配上。一条传输线（transmissionline）的阻抗（impedance）会随其物理长度而改变，要设计一套阻抗匹配（Impedancematching）的电路，需要通过不少繁复的计算程序，史密斯圆图的特点便是省却一些计算程序。该图表是由PhillipSmith于1939年发明的，当时他在美国无线电公司（RCA）工作。Smith曾说过，“在我能够使用计算尺的时候，我对以图表方式来表达数学上的关联很有兴趣。”3.1从反射系数到负载阻抗2G1=1G3=-1G0=0G2=0.6Ð45°G4=0.8Ð225°0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°负载端的反射系数可以写为：其中00GGjLLLLZZeZZ01LG3.1.1相量形式的反射系数3例3.1已知Z0=50Ω传输线，终接下列负载：(b)ZL=∞(开路)Γ=1(开路)(c)ZL=50ΩΓ=0(匹配)(d)ZL=(16.67-j16.67)ΩΓ=0.54∠221(e)ZL=(50+j50)ΩΓ=0.83∠34(a)ZL=0(短路)Γ=-1(短路)求出各反射系数Γ并在复平面上标出它们的位置。30330900120210180602401502703000.60.40.8bdaec反射系数图最重要的概念是相角走向。线上移动的距离与转动的角度之间的关系为42ll式中是向电源的。因此，向电源是反射系数的负角方向；反之，向负载是反射系数的正角方向。l反射圆图2()jlleGG这说明，如果往电源方向移动，对应的反射系数应在反射系数圆上顺时针转动；如果往负载方向移动，对应的反射系数应在反射系数圆上逆时针转动。由此可见，线上移动长度时，对应反射系数矢量转动一周。一般转动的角度用波长数(或电长度)表示。为了使用方便，有的圆图上标有两个方向的波长数数值，向负载方向移动读里圈读数，向波源方向移动读外圈读数。2l反射圆图6特征参数归一思想，是形成统一Smith圆图的最关键点，它包含了阻抗归一和电长度归一。阻抗归一电长度归一0ZzZ0011ZZzZZzG42ll3.1.2归一化阻抗公式已知设且代入，有1111jjezeGGGGrijzrjxGGG222222112111ririiriririjrjxjjGGGGGGGGGGG3.1.3参数反射系数方程分开实部和虚部得两个方程先考虑上式中实部方程GGGGGGG2222221211iriirirxr222222222222111112112112rrrrrrrrrrrrrrrrirrirririrrGGGGGGGGGGG得到圆方程相应的圆心坐标是，而半径是。rr10,11r圆心在实轴上。考虑到电阻圆始终和直线相切。Gr1222111GGrrrir1111rrr11rGrrr1Gi012123414r圆心坐标半径00011030阻抗圆图：电阻圆131/30rxz平面Γ平面-1-1/201/21r=3r=1r=1/31r=0rGiG阻抗圆图：电阻圆虚部又可得到方程也即上式表示等电抗圆方程，其圆心是(1，）,半径是1x02)1(22GGGiirxGGGGGGG2222221211iriirirxr22211)1(GGxxir1x阻抗圆图：电抗圆1xGr11ixGx圆心坐标半径01∞∞±0.51±22±11±11阻抗圆图：电抗圆131/3rxz平面Γ平面-1x=001x=3x=11x=1/3rGiG-1/3-1-3x=-3x=-1x=-1/3131/30rz平面Γ平面-101r=3r=1r=1/3x=1/3r=0rGiG131/3x-1/3-1-3x=3x=－1/3x=-3x=1x=－111rjxrjxG阻抗圆图：电阻圆+电抗圆131/30rz平面Γ平面-101r=3r=1r=1/3x=1/3r=0rGiG131/3x-1/3-1-3x=3x=－1/3x=-3x=1x=－1阻抗圆图：电阻圆+电抗圆0.20.51.02.05.0+j0.2-j0.2+j0.5-j0.5+j1.0-j1.0+j2.0-j2.0+j5.0-j5.00.0阻抗圆图：电阻圆+电抗圆③连接原点和zL点确定Γ0；183.2.1普通负载的阻抗变换3.2阻抗变换例3.3若ZL=30+j60Ω与长2cm的50Ω传输线相连，f=2GHz，vp=50%c，用Smith圆图求Zin。解：④用Γ0顺时针旋转2βd得到Γin(=𝛤0𝑒−𝑗2𝛽𝑑)；2.16.0506030jjzL①用Z0归一化ZL，求zL；②在Smith圆图内找到zL；⑤记录在该处的归一化输入阻抗zin；⑥转换zin到实际的阻抗Zin=zin×Z0。oo961035.010436087cfddvdp5.02x=-0.53r=0.6r=0.371.56OΓ=0.6325inΓ=0.63250x=1.2-120.43O192OzinzL-10+3+2+1-3-20.3103∞2-0.50.1+0.5等VSWR在Smith圆图中是个圆,匹配条件Γ(d)=0或VSWR=1是原点，VSWR＞1时，其值由半径为|Γ(d)|的圆与正实轴的交叉点所对应的归一化电阻值决定。193.2.2驻波比或由VSWR的基本定义，对于沿传输线任意距离d的电压驻波比：𝑉𝑆𝑊𝑅𝑑=1+|𝛤𝑑|1−|𝛤𝑑||𝛤𝑑|=𝑉𝑆𝑊𝑅−1𝑉𝑆𝑊𝑅+1这是因为𝒛=𝟏+𝜞(𝒅)𝟏−𝜞(𝒅)，在实轴上𝜞𝒅=|𝜞𝒅|，此时𝒛=𝟏+|𝜞𝒅|𝟏−|𝜞𝒅|，恰好与VSWR的值一致。20则：①在Smith圆图内找到zL；②以原点为中心，以zL的长度为半径画圆；作为设计工具，Smith圆图通过画VSWR圆的半径，可直接观测传输线和负载阻抗之间的失配度。对于xL=0：,11110rLLLLrrzzGG𝑉𝑆𝑊𝑅=1+|𝛤0|1−|𝛤0|=1+𝛤𝑟1−𝛤𝑟在圆图中画出等VSWR圆：21zL=0.97zL=1.5+-j0.5SWR=1.77zL=0.2-j0.1SWR=5.05SWR=1.03例3.4(a)ZL=50Ω,(b)ZL=48.5Ω,(c)ZL=75+j25Ω,(d)ZL=10-j5Ω分别与50Ω传输线相连，找出反射系数、SWR圆和回波损耗。解：14.066.01.02.00jjzdLG，11100GGSWR06.54.3SWRRL，01110GLLLzzza，G0log20RL015.097.00G，Lzb03.15.36SWRRL，15.023.05.05.10jjzcLG，76.12.11SWRRL，圆图上有三个特殊点：短路点，其坐标为(-1,0)。此处对应于开路点，其坐标为(1,0)。此处对应于匹配，其坐标为(0,0)。此处对应于0,0,1,,rxVSWRG,,1,,0rxVSWRG1,0,0,1rxVSWRG阻抗圆图的特点圆图上有两条特殊线：圆图上实轴为的轨迹，其中正实半轴为电压波腹点的轨迹，线上的值即为驻波比的读数，负实半轴为电压波节点的轨迹；最外面的单位圆为的纯电抗轨迹，即为的全反射系数圆的轨迹1G0x0r阻抗圆图的特点圆上有两个特殊面：圆图实轴以上的上半平面(即)是感性阻抗的轨迹；圆图实轴以下的下半平面(即)是容性阻抗的轨迹。圆图上有两个旋转方向：在传输线上A点向负载方向移动时，则在圆图上由A点沿等反射系数圆逆时针方向旋转反之，在传输线上A点向电源方向移动时，则在圆图上由A点沿等反射系数圆顺时针方向旋转。阻抗圆图的特点图解法：先求归一化电抗x，再找到与单位圆的交点，则从Γ0=1开始顺时针旋转的度数即为2βd(β=360o/λ)。253.2.3特殊的变换条件开路线变换：0同理，感抗条件：nZLarcd02cot120cot1djzZLjin求出线长：容抗条件：nCZarcd011cot110cot11djzZCjin求出线长：为了获得纯感性或纯容性电抗，必须沿着r=0的圆工作，起始点是从Γ=1(因为zL→∞)顺时针旋转。djZdZintan0n=1,2,‥同前，不过起始点是从Γ0=-1(因为zL=0)顺时针旋转26短路线变换：同理，感抗条件：nZLd02arctan120tan1djzZLjin求出线长：容抗条件：nCZd011arctan110tan11djzZCjin求出线长：由于开路线周围温度、湿度及介质其它参量的改变，保持理想的开路条件是困难的。实际应用中短路条件是可取的，但在很高频率或者当用通孔连接在印刷电路板上时，也会引发附加寄生电感而出问题。djZdZintan027短路线开路线xC=0.53xL=2xC=0.53xL=2例3.5工作在3GHz终端开路的50Ω传输线，vp=0.77c，求出形成2pF和5.3nH的线长度。xC=0.53，xL=2，λ=vp/f=77mm，d1=13.24mm，d2=32.8mm解：根据3.16和3.18式：d1=13.27+n*38.5mm，d2=32.81+n*38.5mm0.25000.1760.250.4220.1760.422例：用工作在4GHz终端开路特征阻抗为50Ω的无耗传输线（相速度为光速的50%），分别代替C=4pF的电容器和L=5nH的电感器，试用Smith圆图确定传输线的最短长度。001201210.22.50.220.440.50.0375()=0.825=16.5CLCLjCjLzjzjZZllcmfllcmllcmwwlll==-========分别求出电容和电感对应的归一化阻抗：，从开路点分别顺时针旋转至电容、电感对应的阻抗位置，得到电长度，根据题意，传输线中的波长为因此所求的传输线长度为:，例：将上例的电容和电感用终端短路的传输线来代替，求传输线的最短长度。12120.470.19=1.76=0.71CLllllcmllcmll====从短路点分别顺时针旋转至电容、电感对应的阻抗位置，得到电长度，因此所求的传输线长度为:，使用终端开路传输线构造电容时，传输线长度较小；使用终端短路传输线构造电感时，传输线长度较小。比较上二式发现，二者的形式完全一样，只是后式中幅角多了一个π。这就是说只要把阻抗圆图上诸点均旋转180°，就得到与之对称的导纳圆图。需要注意的是，导纳圆图实轴上半平面是负电纳区，对应电感性；下半平面是正电纳区，对应电容性(2)(2)11111lljdljdleYZeGGGG(2)(2)01111lljdljdleZZZeGGGG3.3导纳变换0.20.51.02.05.0+j0.2-j0.2+j0.5-j0.5+j1.0-j1.0+j2.0-j2.0+j5.0-j5.00.0阻抗反演——导纳ZY事实上，阻抗和导纳互为倒数。这就是说，如果在阻抗圆图上已知某归一化阻抗点，那么沿着等Γ圆