概率论与数理统计魏宗舒版学习指导讲义

《概率论与数理统计》课外自学指导第一章事件与概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A发生必导致B发生”，记为BA或AB；BABA且AB.（2）互不相容性：AB；BA、互为对立事件BA且AB.（3）独立性：1）设AB、为事件，若有)()()(BPAPABP，则称事件A与B相互独立.等价于：若)|()(ABPBP(0)(AP).2）多个事件的独立：设nAAA,,,21是n个事件，如果对任意的)1(nkk，任意的niiik211，具有等式)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP，称n个事件nAAA,,,21相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A与B至少有一个发生”，记为BA.（2）积事件（交）：“事件A与B同时发生”，记为BA或AB.（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生A而B不发生”，记为AB称为A与B的差事件；BB称为B的对立事件；易知：BABA.4、事件的运算法则1)交换律：ABBA，BAAB；2)结合律：CBACBA)()(，)()(BCACAB；3)分配律：BCACCBA)(，))(()(CBCACAB；4)对偶(DeMorgan)律：BABA，BAAB，可推广kkkkkkkkAAAA,5、概率的概念（1）概率的公理化定义：设是一个样本空间，为的某些子集组成F()APA的一个事件域.,定义在上的一个集值函数满足:F.F1()0;PA）非负性：2()1;P）规范性：123,,AA）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()nnnnPAPA().PAA则称为事件的概率（2）频率的定义：事件A在n次重复试验中出现An次，则比值nnA称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为)(Afn，即nnAfAn)(.（3）统计概率：().nkfAnpn频率具有稳定性，即随的增大越来越靠近某个常数称p为事件A的（统计）概率.在实际问题中，当n很大时，取()()nPApfA（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A发生的概率为：nAknkAAP)()(＝＝中样本点总数中所含样本点数.（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域中随机地取一点落在区域A中”这一事件A发生的概率为：()APA的测度＝的测度.（6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：)(P＝0.（2）有限可加性：设nAAA,,,21是n个两两互不相容的事件，即jiAA＝，（ji）nji,2,1,,，则有)(21nAAAP＝)(1AP＋)()(2nAPAP.（3）单调不减性：若事件,()()BAPBPA则，且()()()PBAPBPA.（4）互逆性：()1()PAPA且()1PA.（5）加法公式：对任意两事件BA、，有)(BAP)()(BPAP－)(ABP；此性质可推广到任意n个事件nAAA,,,21的情形.（6）可分性：对任意两事件BA、，有)()()(BAPABPAP，且()()()PABPAPB7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设BA、是两个事件，即AB、F.，则)()()|(APABPABP称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．（2）乘法公式：设AB、，F.且()0,()0,PAPB则)|()()|()()(BAPBPABPAPABP称为事件BA、的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设nAAA,,,21是的一个划分，且0)(iAP，),,2,1(ni，则对任何事件BF.，有niiiABPAPBP1)|()()(＝称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设nAAA,,,21是的一个划分，且0)(iAP),,2,1(ni，则对任何事件BF.，有),,1(,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用)(APp表示，其中A＝“成功”.（2）把重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为nE．（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为E．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）nE中成功k次的概率是：)0(,)1(nkqpCppCknkknknkkn其中1(01)pqp.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A与B必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A、B为互逆事件；如果两个事件A与B不能同时发生，则A、B为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件A、B独立，则A与B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时)()()(BPAPABP；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时0)(,ABPAB.4、条件概率)|(BAP与积事件概率)(ABP)(ABP是在样本空间内，事件AB的概率，而)|(BAP是在试验E增加了新条件B发生后的缩减的样本空间B中计算事件A的概率.虽然A、B都发生，但两者是不同的，一般说来，当A、B同时发生时，常用)(ABP，而在有包含关系或明确的主从关系时，用)|(BAP.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.例题解析【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点：（1）掷一棵骰子，出现奇数点.（2）投掷一枚均匀硬币两次：1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.（3）在1，2，3，4四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍.（4）将a,b两只球随机地放到3个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球.分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样本点是元素，事件则是包含在全集中的子集.解:(1)掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现1点”这个样本点，其余类似.则样本空间为：={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件为：{1，3，5}.（2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为：={（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用CBA、、分别表示上述事件1）、2）、3），则事件A={（正,正）,（正,反）}；事件B={（正,正），（反,反）}；事件C={（正,正）,（正,反）,（反,正）}.（3）在1，2，3，4四个数中可重复地抽取两个数，共有1642种可能，若用),(ji表示“第一次取数i，第二次取数j”这一样本点，则样本空间为：={),(ji})4,3,2,1,(ji；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）}.(4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将a,b两只球随机地放到3个盒子中去共有九种结果.若用（甲、乙）表示“a球放入甲盒，b球放入乙盒”这一样本点，其余类似.则样本空间为：={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）}.【例2】设CBA、、为三个事件，用CBA、、的运算关系表示下列各事件：（1）仅A发生；（2）A与C都发生，而B不发生；（3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至多有两个事件发生；（6）至少有两个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）恰有一个事件发生.分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件.解：（1）CBA；（2）CBA；（3）CBA或CBA；（4）CBA或ABCBCACBACABCBACBACBA；（5）CBA或CBABCACBACABCBACBACBA；（6）BCACAB或BCACBACABABC；（7）BCACBACAB；（8）CBACBACBA.【例3】把n个不同的球随机地放入)(nNN个盒子中，求下列事件的概率：（1）某指定的n个盒子中各有一个球；（2）任意n个盒子中各有一个球；（3）指定的某个盒子中恰有)(nmm个球.分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有N种放法，n个球共有nN种不同的放法.“某指定的n个盒子中各有一个球”相当于n个球在n个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在N个盒子中选n个盒子，再放球；（3）相当于先从n个球中取m个放入某指定的盒中，再把剩下的mn个球放入1N个盒中.解：样本空间中所含的样本点数为nN.（1）该事件所含的样本点数是!n，故：nNnp!；（2）在N个盒子中选n个盒子有nNC种选法，故所求事件的概率为：nnNNnCp!；（3）从n个球中取m个有mnC种选法，剩下的mn个球中的每一个球都有1N种放法，故所求事件的概率为：nmnnNNNCp)1(.【例5】设事件A与B互不相容，且qBPpAP)(,)(，求下列事件的概率：)(),(),(),(BAPBAPBAPABP.分析：按概率的性质进行计算.解：A与B互不相容，所以AB，0)()(PABP；)(BAPqpBPAP)()(；由于A与B互不相容，这时ABA，从而pAPBAP)()(；由于BABA，从而)(1)(1)()(qpBAPBAPBAP.【例6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中