《数学导数概念》PPT课件

导数的概念一.问题的提出二.导数的定义三.求导数四.导数的几何意义物理意义与经济意义五.可导与连续的关系小结如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.T0xxoxy)(xfyCNM000,0.(,),(,),MNNMTMxyNxyMN设割线的斜率为一.问题的提出1.变速直线运动物体的瞬时速度问题2.切线问题割线的极限位置——切线位置00000000()()tan,,,()()tanlim.xxyyfxfxxxxxNMxxMTfxfxkxx切线的斜率为二.导数的定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义00000000000000()()()()limlim()()()()limlim.xxxxxxxxhxxdydfxyfxdxdxfxxfxyxxfxhfxfxfxhxx=2.右导数:★单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx★函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.00000,()().,(),.()()lim()()()lim.:()()()xhxxxIfxfxdyyfxydxfxxfxyxfxhfxfxfxfxfxh对于任一都对应着的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数导函的记或或数即注意作★例1.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解0044sin()sin(sin)limsin2limcos()cos.22(sin)cos.2(sin)cos.2hhxxxhxxhhhxxhxxxx即三.求导数例2(1)()(0,1),xfxaaa求函数的导数解hahxhxxhhxhxxxxxxaaahaaheaaaaaaehe0ln00()lim1limln,()ln,().1lim即(2)log(0,1).ayxaa求函数的导数hxhhhahxxhxxhhxxxexxxhxxa000ln()ln(ln)lim11limlimln(1)111ln,(log).lln()n101100(3)()(),(),()lim,()()(1/)1lii0lm.m,hhhhxxhhxfxxxhxxhxxxxxh求幂函数的导数即RRR解例3.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo0000(0)(0),(0)(0)limlim1,(0)(0)li:()0?mlim1.(0)(0),()0.hhhhhfhfhhfhfhhhfhfhhhffyfxxQfxxxx即函数在处的在点不导可导性可四.导数的几何意义物理意义与经济意义oxy)(xfyT0xM1.几何意义)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy★由导数的几何意义,如果函数y=f(x)是单调增加的，那么函数的图象—曲线y=f(x)就是单调上升的，又如果函数y=f(x)是可导的，那么曲线y=f(x)每点的切线都是上倾的,斜率都是大于等于零的。当然，如果已知曲线y=f(x)每点的切线斜率都是大于等于零的,试问：可导函数y=f(x)一定是单调增加的吗?…!这一猜想将在后面予以证实。hhfxababfxfxabfxhfxxxhabhfxabfxhfxfxhfxhfxhabfx00()(,),.:(,)()0.:()(,),()(),(,),0,()(,),()()lim(),()()lim0,(,)()0.设函数在内处处可导且函数单调增加证明在内有证明在内单调增加极限保又函数在内处处可导存在由知在内有号性推论★fxabfxab:()(,),()0.(,).由不难推得设函数在内处处可导极限且有＞则在内函数严格的保号单调增加性000012201222xx(x)ypxx(p)x,yy(px)px由不难得到在抛物线上任意一点()处的切线斜率为由此我们可以得到抛物线的一个重要的性质。根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角）等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角）。于是，任意一束从抛物线的焦点处出发的光线，经抛物线的反射后成为一束平行的光线。由于光路是可逆的，因此反过来，若有一束与抛物线的对称轴平行的光线射入抛物线，则经过反射后光线将会聚于抛物线的焦点处。这就是探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等运用上述抛物线的性质的实际例子。（实际上，准确地讲，上述旋转抛物面应该是的光学性质）2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速率：.lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度：.lim)(0dtdqtqtit质地非均匀的线物体:线物体从a到x那一段的质量为m(x),那么质量m(x)对x的导数为线物体的线密度：…………()limlim.xxmxxmxmdmxxxdx00Oabxx+Δx0.(),()lim,()()(),,,()..xyCxCyCxxCCxxCxCxxxxCx经济学上把一个函数的导数称为该函数的边际值如某工厂生产一种产品的成本函数称为边际成本就是在产量为的时候每多生产一个单位的产品时平均所需成本近似于所以经济学上常用边际值快速估计或预测相关经济量3.导数的经济意义2.:,,.,,()()()()2505,()25010.,10,1,2501010150.30,1,250103050,LxxLxxxLxxxx经济学上把一个函数的导数称为该函数的边际值如边际成本边际收入边际利润例如某厂生产一种产品每天的总利润万元与产量吨的函数关系为其边际利润为那么这表明当每天产量为吨时再多生产吨产品总利润约增加万元而当每天产量为吨时再多生产吨产品50.总利润将约减少万元五.可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证xxxfxxyyfxfxxxxyfxxxyfxxxfxx000000000(),lim(),(),0(0),(),limlim[()]0().设函数在点可导函数在点连续.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数xfxxfxfxfxy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.)(0,0的角点为处不可导在xfxx注意:该定理的逆定理不成立.★连续函数不存在导数举例31xyxy010000002.(),()()limlim,()()xxfxxfxxfxyxxfxx设函数在点连续但称函数在点有无穷导数不可导例如,,1)(3xxf,(,)x110在处不可导但是曲线在处却有切线——一条铅直的切线。小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.1.设)(xf在0xx处可导，即)(0xf存在，则_________)()(lim000xxfxxfx,_________)()(lim000xxfxxfx.练习题2.在下列各题中均假定)(0xf存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出A表示什么？(1)Axxxfxfxx00)()(lim0；(2)Ahhfh)(lim0，其中)0(0)0(ff且存在；(3)Ahhxfhxfh)()(lim000.3.证明：若)(xf为偶函数且)0(f存在，则0)0(f.4.设函数sin,(),xxfxxx21000问:)(xf在0x处是否(1)连续；（2）可导；（3）导数连续?5.设函数1,1,)(2xbaxxxxf,为了使函数)(xf在1x处连续且可导，ba,应取什么值.2111,1(),,,1,()1.()1,,lim()(1)1,lim()lim(),1()1.()1,xxxxxfxabaxbxfxxfxxfxffxaxbababfxfxxx设试验确定的值使得函数在处可导解函数在处可导首先要连续又当时函数显然函数在处左连续在处连续例4212111111(),1(),1.,1()(1)(1)lim11limlim(1)211(1)limlim112()1.1xxxxxababfxxxfxxaxbxfxffxxxxaxbaxaxxafxxab时在处连续时函数在处可导yOO1111xxy1()1()1.abfxxfxx时函数在处不连续函数的图象在处左右错位2()1(1,1)fxxyxyaxb在处可导在点两边曲线与有唯一的公切线000(,)()().()(,),,(,),()(),()()lim()()()lim()()limhthhtfxhffxxfxfxfxhfxhfxtfxtxfxh求证在上点点可导的偶奇函数的导函数是奇偶函数证明设在上点点可导偶函数则例50000()()()()limlim()()lim()(,),()()(,),(()()((lim).))hhtthtfxhfxfxfxhfxfxtfxhtfxtfxfxtxfxfxfhfxx在上可导的偶函数是奇函数