三参数、四参数曲线拟合

正弦曲线拟合的三参数法与四参数法正弦曲线拟合的意义由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。曲线拟合的一般过程正弦信号——采样——A/D变换——信号处理——拟合正弦曲线数学上，幅度、频率、相位和直流偏移4个参数可以唯一确定一条正弦曲线。曲线拟合的目的就是通过分析输入的正弦信号，得到正弦波形的四个参数值，从而得到拟合曲线。在已知输入正弦波形的前提下，怎样确定它的4个参数呢？正弦曲线拟合的总体思路主要是通过改变拟合正弦函数的幅度、频率、相位和直流偏移，使拟合函数和采样序列各点的残差平方和最小，从而获得正弦波形序列最小二乘拟合结果。正弦曲线拟合的总体思路假设采样点数是L，采样数据是D(I)，I:0,1,…,L-1拟合函数是S(t)=Asin(2πft+p)+C则残差的平方和为为采样时间间隔拟合的目的就是找到让E最小的四个参数A、f、p、C120E[D(I)S(It)]LIΔt三参数法简介三参数正弦曲线拟合，特指信号频率已知时获取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法，它是一种闭合算法，无须迭代即能获得结果，没有收敛问题，具有良好的实用性。三参数法的算法在标准IEEEstd1057-2007IEEEStandardforDigitizingWaveformRecorders的AnnexA中给出了一种三参数正弦拟合的算法。三参数拟合算法示例设理想正弦信号为三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或寻找A，B，D，使下式所述残差平方和最小：则，参数A，B，D即为A0，B0，D0的最小二乘拟合值。为寻找出A，B，D，构造矩阵000000y(t)=Ccos(2πft+θ)+D=Acos(2πft)+Bsin(2πft)+Dn2ii=1E=[y-Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D]cos()sin()1cos(2)sin(2)1cos()sin()1Mnn0Ax=BD12nyyy=y三参数拟合算法示例残差平方和用矩阵表示为：当式E最小时可得x0的最小二乘解为：拟合函数的幅度和相位表达形式为：其中：T00E=E(ω)=(y-Mx)(y-Mx)T-1T0x=(MM)(My)∧y(i)=Ccos(ωi+θ)+D22C=A+Barctan();A0arctan();A0BABA三参数拟合算法示例拟合残差为：拟合残差有效值为：其中：由于这是一种闭合算法,因而收敛是肯定的。iir=y-Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D'EEn2211(yy(i))nniiiiEr四参数法当正弦信号的四个参数都不知道时，一般采用四参数法进行拟合。四参数法也是最常用的一种正弦波拟合方法。与三参数正弦曲线拟合不同，四参数正弦曲线拟合是一个非线性迭代过程，没有解析公式可以直接应用获得结果，需要计算初始值进行迭代。初始值的重要性初始值的精确度对于迭代结果有着很重要的影响。较大的初始误差将导致迭代发散，或收敛到局部最优值而非总体最优值上。获取初始值的基本方法频率f：(1)fft/dft(2)通过分析信号过零点的时间间隔估计频率幅值A：峰峰值除以2直流偏移C：(1)计算信号一个周期的平均值(2)信号最大值与最小值之和除以2相位p：D(0)-Cp=arcsin()A四参数拟合的算法四参数拟合有很多种算法。IEEE学会在标准IEEEstd1057-2007IEEEStandardforDigitizingWaveformRecorders的AnnexA中给出了一种方法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。四参数拟合的经典算法简介牛顿法：该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技术相结合的产物，搜索终止的判据可以是参数增量，或残差平方和。顺序搜索法：顺序对每一个参数在初始值上使用增量搜索法寻找其最优点。牛顿法简介牛顿法是对方程四个参数求偏微分，得到E对给定系数的增量的泰勒级数展开式。用增量对初始值进行校正，以此方法进行多次迭代，直到相关系数不再增大，或者设定一个迭代的次数，就可以得出四个值的最终结果。四参数拟合的算法简介顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三参数方法。四参数顺序搜索算法示例(Ⅰ)令i=1,确定估计信号频率的大致区间.对于常见的等间隔采样,转步骤(Ⅱ);对于非等间隔采样,直接转步骤(Ⅲ).(Ⅱ)利用DFT或FFT计算信号频率,设为ωd,令迭代区间频率下限，迭代区间频率上限(其中,ωc为时钟频率,N为DFT或FFT的长度),转步骤(Ⅳ).(Ⅲ)观察采样序列过零点时刻,设第m个过“零点”(零点指采样序列的均值位置)时刻在区间[tkm,tkm+1]中,而第L(LM)个过“零点”时刻在区间[tkl,tkl+1]中,令，,其中m,l为整数,转步骤(Ⅳ).(Ⅳ)令,从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取2M+1个点(比如M=5),利用三参数法分别计算出这些点对应的A1j,B1j,C1j和残差平方和E1j(j=1,2,3,…,2M+1).(Ⅴ)比较(Ⅳ)中2M+1个残差平方和,并找出最小残差平方和对应频率(记为ω1)、正弦幅度(记为A1)、余弦幅度(记为B1)以及直流偏移(记为C1).这就是正弦信号四参数的第1次估计值,其中,频率估计的最大偏差Δω=Δω0/M.(Ⅵ)令i=i+1,(Ⅶ)从区间[ωil,ωih]中等间距地取2M+1个点,分别计算出这些点对应的Aij,Bij,Cij和误差平方和Eij.(Ⅷ)比较(Ⅶ)中2M+1个误差平方和,并找出最小误差平方和对应的四个参数(分别记为ωi,Ai,Bi和Ci),这就是正弦信号四参数第i次的估计值,其中,频率估计的最大偏差Δω=Δω0/Mi.(Ⅸ)重复(Ⅵ)～(Ⅷ),直到找到满足精度要求的信号频率,将其记为ω,同时将与它对应的其他三个参数记为A,B,C,那么ω,A,B,C这四个参数就是正弦信号四参数的估计值.其中,频率估计的最大误差为Δωmax=Δω0/Mi步骤(Ⅰ)～(Ⅸ)给出了四参数估计法的一般步骤和频率估计的最大误差Δωmax,可知,可以通过增大估计次数i来提高估计精度四参数拟合的算法简介还有学者使用遗传算法实现总体最优估计，以此实现四参数正弦参数的最小二乘估计，由于遗传算法原理本身可保证实现全局最优逼近，可避免收敛到局部最优点上，从而具有良好的收敛性。拟合误差有很多因素会影响到拟合参数的精确度。序列长度、采样序列中含有的波形周期个数、采样量化误差、非线性误差等条件，都限制和影响了正弦参数的估计。影响不确定度的因素(1)波形采集速率。(2)波形测量通道间延迟时间差。(3)采样序列的噪声及非谐波失真。(4)采样序列的抖动。(5)4参数正弦波拟合软件造成的测量不确定度，主要由于软件收敛判据、舍入误差、累积误差等造成；(6)另外，采集序列长度的变化、采集序列中所含信号的周期个数的变化，也将给测量带来影响，它们将体现在上述各项不确定度的分量中，不单独列出。拟合参数的最小误差界JohnP.Deyst1995年给出了正弦波四参数最小二乘拟合算法获得参数的误差界，使用蒙特卡罗搜索仿真法等对于各种可以想象的条件变化进行了细致研究，并分别以经验公式、误差界曲线等形式，给出了4个拟合参数随谐波次数和幅度、噪声、抖动、序列长度、序列所含信号周期个数等条件参量变化的规律。基本结论是：拟合获得的4个参数的误差界随着谐波阶次、序列长度、序列所含信号周期个数增大而变窄，随着谐波幅度、噪声、波形抖动的降低而变窄。每个参数的误差界应该在一个确定区间内变化，最小误差界即是其Cramer-Rao界。拟合参数的最小误差界Cramer-Rao界：在四参数正弦波拟合中，误差界的指数表达式给出了拟合参数误差随着信号周期个数和谐波阶次变化而变化的一个公式。h1.2h1.250h1.25h1.211.1A0.9max|ΔN|=(nh)AAΔA1max||=A(Nh)AA180max|Δp|=(Nh)AAΔC0.61max||=A(Nh)hA其中：N为采样的周期个数，n为采样点数，h为谐波次数（整数），A为幅值，p为相位，C为直流量。拟合参数的不确定度利用Cramer-Rao界，可以估计出谐波失真造成的4个测量参数的不确定度。以相位为例，假设h次谐波的幅值造成的参数误差分别在各自的误差界内均匀分布，则给带来的测量不确定度为：hAhAΔp0mhph1.25DpA180u(A)==(Nh)3A3由于三角函数基之间的正交性，不同谐波互不相关，所有谐波带来的总的不确定度为：22pph2.52h2h210800u=u(A)(Nh)hAA拟合参数的不确定度同理也可以得到幅值和直流分量的不确定度。22hAAh2.5h2h2Au=u(A)=3(Nh)22hCCh2.423.52h2h20.124Au=u(A)=Nh幅值：直流量：拟合参数的不确定度对于频率不确定度的估计，可以做一下变换：22;NNnn同理可以计算得到频率的不确定度：2hω2.422h210.659Au=(Nh)nA降低误差的手段使用滤波等手段对正弦序列进行预处理后再进行拟合将是降低拟合误差界的一个有效手段。有学者专门针对正弦波采样序列提出了一种滤波器，可用于正弦拟合的预处理，主要用来消除谐波因素影响，以便降低拟合误差。其特点是理论上可以滤除全部偶次谐波和任意指定的奇次谐波，且对4个待拟合的正弦波模型参数没有影响。谢谢！