数学金融学之连续时间金融市场课件(复旦大学-雍炯敏)

成立”。为“以概率的等式或不等式均理解强调），但是所有遇到（除非有特别的们约定一般不用为了记号简便起见，我的缩写）。来表示（英文文献中，常常用记号均成立），在一般的的成立的（未必是对所有概率式往往是以人们遇到的等式或不等说明：在随机分析中，。，控制理论方面的知识；，初步的随机分析知识知识储备：章，连续时间证券市场第1..a..a1218ssurelyalmosts个时段）小时就有秒采一次样，则个时段（如果每素）、投资所带来的不确定因机构或个人独立的参与个有影响的投资个状态（它们可以代表一个具有们面临的是等等）。但是，如果我定价、最优投资问题，（未定权益我们可以解决血多问题章节中的结果，原则上。利用前面有涉及的量都是离散的真实的金融市场中，所们知道，在为就是普通的股票。我常这些风险资产可以认便起见，通总是上升的），为了方（它们的市场价值未必种是所谓的风险资产账户；另外为债券或投资者的银行，我们称之场价值始终是上升的）的无风险资产（即其市种是所谓种资产：）中有记作假定在一个金融市场（证券市场的描述1080310100010001000n11nM.18）存借款利率相同。等）；（束（比如，可以卖空）对资产的交易没有约和税收；（）不存在交易费度是连续的；（）资产的交易时间和额（为无摩擦的，如果称市场定义论。数学金融问题的一般推模型下若干将建立这种连续化市场变得相对容易了，我们复杂的问题”的近似使得原来非常事实上，这种“连续化发挥作用。在处理金融市场问题中有力的数学工具就能够机分析等强则许多诸如微积分、随量也允许是任何实数，实数，交易，允许交易时刻是任何问题“连续化”，比如，将离散的。另一方面，不难想象得到深刻而简洁的结果法能想象用前面章节中的方种股票的市场，则很难和4321M.11100)2.1()0(1),()()()()()(],0[,,2,1),(Pt)(r)1.1(1)0(,)()()()(PM10000iidjiijiiiiipPnitdttPdttbtPtdPTnitPdttrtPtdP微分方程：内满足如下的随机。它们在时间区间票的价格过程为的短期利率。我们记股称为时刻其中方程：假定它满足如下常微分过程为格过程。记债券的价格市场中债券和股票的价型，即给出给出一个具体的市场模抽象，现在，让我们来的市场比较是无摩擦的。上面所说下，我们总假定市场声明的情况性质。以后，在无特殊是揭示市场的许多内蕴市场的目的化的市场。研究这样的无摩擦市场是一种理想的依赖。和市场以强调市场对来记这个定了。我们将用续时间的）证券市场给个（连给定时，人们就认为一和了。因此，当价格过程就完全确定给定时，债券和股票的和可知，当和由上面，，们记种股票的初始价格。我为第），种股票价格过程的影响对第种不定因素表示第数（它称为股票价格的波动系种股票的平均回报率，称为第域流；生成的自然运动为运动，其中维标准上的一个空间为带域流的概率，，）中，在方程（)()(),(),,()()(),()()(),()2.1()1.1(,))(()(,))()(()(0)()()()(B}{Bd),}{,,())()(()(.21d100d1brbrMbrbrbbbipijibrownFrownPFFdnijTijijitttt)3.1();,0();,0(1,);,0();,0(}}{)(],0[:{);,0(1},)(}{)(],0[:{);,0()2.1()1.1(100000qmqFmFpqmqFmpFttmmFTpttmmpFRTLRTLpRTLRTLFRTRTLpdssEFRTRTL适应的，有界的是适应的，是面的讨论中反复用到。，它们将在后，让我们引入一些空间和为了研究存在唯一的强解。条件下，理论，我们知道在由随机微分方程的一般存在唯一解：件下，常微分方程条。容易知道，在至少满足总假定市场最强，以后我们其次，最弱，在上述条件中，为常数。为有界可测函数。测的有界随机过程。循序可为引入三种可能的假定：现在，我们对市场)2.1()1()4.1(],0[,)()1.1()1()1(),,()3()2()1(,,)3(],0[:),,)(2(}{],0[:),,)(1(),,(0)(00MTtetPMMbrMMMMbrMRRRTbrMFRRRTbrMbrMtdssrijidnnttdnn)7.1(1),;,0()(),();,0()(),(0)(0)6.1()6.1(1,0,)()2.1()5.1()()(])(21)([)]([ln))(ln,0)(,0()(ln01100)()(])(21)([11201012niRTLPPRTLPPtPpniTteptPtdtdtttbtPdtPtPpItotPtFiiFiisdtdsssbiidjjdjijijiiiiiitdjjtdjijiji们不难证明：。进一步，我时，必有可见，当从上面的强解为所以，有意义。从而我们可以证明注意，由于公式：用运式，我们对随机过程为了得到该强解的表达)9.1()0(~)()()(~))()()((~)(~)1)(~1)(~)()()(~)()()()(~}{)8.1()(1)();,0();,0()7.1()()(110)(0010iijdjijiiiiiiiittdssrFFiipPtdtPdttrtbPPdniPPPPfffFePRTLRTLPPnit满足：（程此时，贴现股票价格过作计价单位。，这意味着债券已被取回忆第五章，我们知道。显然，为贴现资产价格过程，们称的贴现过程。于是，我为相应于适应过程对任何为贴现因子过程，并且以后，我们称。是而不第二式中出现的是是有界的，所以，未必和，言，对需要注意的是，一般而niiiiFiisdtdsssrsbiitPtNtYtYtnitNitTtRyniRTLPPniTteptPMtdjjtdjijiji001)()(])(21)()([)12.1()()()(),(,,,1,0),(],0[0)11.1(1),;,0()(~),(~)10.1(1,0,)(~)9.1()1(),2.1(02012则有市值为投资者的财富总并且时刻资产的股数为种投资者持有第续调整。记时刻债券的持有量并可以连内选择股票与以在时间进入市场，该投资者可刻在时定投资者以初始财富考虑一个投资问题：假并且也有：解由下式给出：的唯一强条件下，我们知道，在类似于求解)13.1(1},][}{)(],0[:)({)];,0([)(1)()()()()())(,),(),((010pERCLLFRTRTBVRCLLtNtNtNttNYNNNpBVttnnpFiiiin且，适应的，是引入有左极限的函数，现在表示右连续且具限。我们常用一点右连续且存在左极在每，过程以假定以概率经过修正以后，总是可在的。所以一点的左右极限总是存几乎处处连续的，故每变差函数是界变差函数。由于有界的函数类是右连续的有应该属于的最自然的，因此，梯函数，并且是有连续都应该是一个阶象，每个款是允许的。直观地想表示卖空或借都是允许取负值的，这注意的是，每个提醒读者为一个财富过程。需要；称为投资策略过程也称之为一个证券组合过程我们称)16.1()()()0)(()15.1(1),];,0([)];,0([)14.1(}1,0)()(sup{,],0[0111001niiinFnpFkkiiiBVnttYitnittpRTBVRTBVHolderkTtttttRT则种资产的市值，持有第为该投资者在时刻记方便。的讨论带来示证券组合可以给我们情况下用不同方式来表式。不同的描述证券组合过程的方外，我们还有另外一些券组合过程持有资产的股数作为证除了以投资者在时刻不等式可知由：函数）其中，对任何（确定性系。之间的一些重要关和示了了这种情形，并且还揭面的命题改观缺乏理想的对等性。下和框架下，的。所以，在也不是有界的因为之亦然，反时，我们不能保证当未必是有界的，因此，为某个常数。由于其中，所属的空间应当是比较自然的每个当然也允许取负值。允许取负值，每个由于每个关系相互确定：可以由下述与易知为一个证券组合过程。我们也称)()()()();,0())(();,0()();,0()()(),1[),;,0()()()()17.1(],0[,0),()()())(,),(),(())(,),(),(())(,),(),((1101010iiiiPFiPFiPFiiPFiiiiiinnnPNNRTLPRTLRTLNPpRTLttNTtnitPtNtNNN下述关系式成立：，进一步，对于连续，且适应的，是此处，则如果；当且仅当对于成立，假定命题)];,0([);,0()()19.1(}])(max[)(}{)(],0[:{))];,0([,()18.1())];,0([,()()(),;,0()()2();,0()(),;,0()(,1)1()1(.21102],0[0200200RTBVRTLNtEttFRTRTCLRTCLsdPsNRTLNRTLRTLNpMFFipTtttmmpFFTiiFipFipFi)22.1()()()()()()()()()()2.1()2()1();,0()();,0()()21.1())(())(()()()()17.1(),7.1(,)1()20.1(0),()()0()0()()()()(100000012],0[0212122121211djjijiiiiiiipFipFiqqqTqqqqiqqTqiTqiiTqiTTiiiiiiiitdttPtNdttbtPtNtdPtNRTLRTLNdssPEdssNEdssPsNEdssEHolderpqqTtsdPsNPNtPtNsdNsP我们有由得证。过来的证明是类似的，。反可以推出从而，我们有不等式，和由对于任何证明：kjjijijijiiiiikFFieeTeieTeiTiiTdjijiiFitPtNtPtNPNtPtNtttttRTBVRTLNKdssPEdssNEKdssPsNKEdsssPsNEItoLebesgueRTLNM11110102204)2(2220202202102)]()()()([)0()0()()(,0],0[)];,0([);,0()(0)23.1())(())(()()()()()()22.1();,0()()1(我们有分割的，则对任何如果为一个绝对常数。其中在，因为积分也存积分存在；而第二项的第一项通常的右端的时，，当因此，注意到端点的考虑。对积分的那种写法是出于左端上面成立。证毕。于是，积分的定义，，由是对几乎所有的收敛的。第二项的收敛为是以概率时），所以，也可以认当中的在分的定义。这项收敛是积积分和以及利用上式中，第一项收敛是StieltjesLebesgueStieltjesLebesguettRTLItoLebesguesdNsPsdPsNtNtNtPtPtPtNjjjFtiiTiikjjijijikjjijiji